Uma fábrica de motores de ventiladores monta 120 motores por mês e separa 20 itens para inspeção. Sabe-se que, dos motores montados mensalmente, 6 não funcionam. Qual a probabilidade de todos os motores inspecionados funcionarem bem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma fábrica que monta 120 motores por mês e separa 20 para inspeção. Sabemos que, desses 120 motores, 6 não funcionam. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de que todos os 20 motores inspecionados estejam funcionando bem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade sem reposição, que é quando a seleção de um item afeta as chances dos próximos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantos motores estão funcionando bem. Se a fábrica monta 120 motores e 6 não funcionam, então o número de motores que funcionam bem é:
120 - 6 = 114
Então, temos 114 motores bons e 6 motores com defeito.

Passo 3

Agora, queremos selecionar 20 motores para inspeção. A probabilidade de todos os 20 motores selecionados estarem em perfeito estado envolve calcular quantas formas podemos escolher 20 motores bons de um total de 114 bons, e dividir pelo número total de maneiras de escolher qualquer 20 motores entre os 120 totais.

Passo 4

Para calcular isso, usamos combinações, que são maneiras de selecionar itens sem se importar com a ordem. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o total de itens,
  • $ k $ é o número de itens a serem escolhidos,
  • $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso problema:
  • Número de maneiras de escolher 20 motores bons de 114 bons:
C(114, 20) = 114!20!(114 - 20)!
  • Número total de maneiras de escolher 20 motores de 120:
C(120, 20) = 120!20!(120 - 20)!

Passo 6

A probabilidade desejada é a razão entre essas duas combinações:
P = C(114, 20)C(120, 20)

Passo 7

Para simplificar o cálculo, podemos usar a propriedade de que muitas partes do fatorial se cancelam:
P = 114!20! cdot 94! times 20! cdot 100!120! = 114! cdot 100!94! cdot 120!

Passo 8

Simplificando ainda mais, vemos que:
114!94! = 114 times 113 times dots times 95
100!120! = 1120 times 119 times dots times 101
Portanto,
P = 114 times 113 times dots times 95120 times 119 times dots times 101

Passo 9

Calculando esse produto, obtemos a probabilidade final. Para facilitar, podemos usar uma calculadora científica ou software que lide com grandes números.

Resposta

A probabilidade de que todos os 20 motores inspecionados funcionem bem é aproximadamente 0,308 ou 30,8%.

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