Uma fábrica de motores de ventiladores monta 120 motores por mês e separa 20 itens para inspeção. Sabe-se que, dos motores montados mensalmente, 6 não funcionam. Qual a probabilidade de todos os motores inspecionados funcionarem bem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma fábrica que monta 120 motores por mês e separa 20 para inspeção. Sabemos que, desses 120 motores, 6 não funcionam. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de que todos os 20 motores inspecionados estejam funcionando bem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade sem reposição, que é quando a seleção de um item afeta as chances dos próximos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quantos motores estão funcionando bem. Se a fábrica monta 120 motores e 6 não funcionam, então o número de motores que funcionam bem é:
Então, temos 114 motores bons e 6 motores com defeito.
Passo 3
Agora, queremos selecionar 20 motores para inspeção. A probabilidade de todos os 20 motores selecionados estarem em perfeito estado envolve calcular quantas formas podemos escolher 20 motores bons de um total de 114 bons, e dividir pelo número total de maneiras de escolher qualquer 20 motores entre os 120 totais.
Passo 4
Para calcular isso, usamos combinações, que são maneiras de selecionar itens sem se importar com a ordem. A fórmula da combinação é:
Onde:
- $ n $ é o total de itens,
- $ k $ é o número de itens a serem escolhidos,
- $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso problema:
- Número de maneiras de escolher 20 motores bons de 114 bons:
- Número total de maneiras de escolher 20 motores de 120:
Passo 6
A probabilidade desejada é a razão entre essas duas combinações:
Passo 7
Para simplificar o cálculo, podemos usar a propriedade de que muitas partes do fatorial se cancelam:
Passo 8
Simplificando ainda mais, vemos que:
Portanto,
Passo 9
Calculando esse produto, obtemos a probabilidade final. Para facilitar, podemos usar uma calculadora científica ou software que lide com grandes números.
Resposta
A probabilidade de que todos os 20 motores inspecionados funcionem bem é aproximadamente 0,308 ou 30,8%.