Considere as seguintes matrizes
A=(ll 1 & 0 1 & 1 ), B=(ll 1 & 2 0 & 1 )
(2) Os autovalores de A B são iguais aos autovalores de B A?

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem 2,
A = 1 & 01 & 1, B = 1 & 20 & 1,
e pergunta se os autovalores de AB são iguais aos de BA. Vamos usar a propriedade geral de que, para matrizes quadradas do mesmo tamanho, AB e BA têm o mesmo polinômio característico, e verificar isso explicitamente calculando AB, BA, seus traços e determinantes.

Passo 2

Calcular AB e BA:
AB = A,B = 1 & 01 & 1 1 & 20 & 1 = 1cdot1+0cdot0 & 1cdot2+0cdot1 1cdot1+1cdot0 & 1cdot2+1cdot1 = 1 & 21 & 3,
BA = B,A = 1 & 20 & 1 1 & 01 & 1 = 1cdot1+2cdot1 & 1cdot0+2cdot1 0cdot1+1cdot1 & 0cdot0+1cdot1 = 3 & 21 & 1

Passo 3

Para , o traço é
e o determinante é
Logo o polinômio característico de é

Passo 4

Para , o traço é
e o determinante é
Assim o polinômio característico de é

Passo 5

Como chiAB(lambda)=chiBA(lambda), concluímos que AB e BA têm os mesmos autovalores. Resolvendo
lambda^2 - 4lambda + 1 = 0
vem
lambda = 4 pm raiz16 - 42 = 2 pm raiz3

Resposta

Sim. Os autovalores de AB e de BA coincidem e valem
lambda1,2 = 2 pm raiz3

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