Determine os autovalores e autovetores das matrizes
Os autovalores de A+B são iguais aos autovalores de A mais os autovalores de B?
Passo 1
O enunciado pede para determinar os autovalores e autovetores das matrizes
A=3&01&1, B=1&10&3, A+B=4&11&4
e verificar se os autovalores de A+B são iguais à soma dos autovalores de A e de B. Para isso vamos usar o polinômio característico det(M-lambda I)=0 para achar os autovalores e depois resolver (M-lambda I)x=0 para os autovetores.
Os autovalores de A são 3,1, de B são 1,3 e de A+B são 5,3. A soma de cada par de autovalores de A e B poderia dar 2,4,6, não 5,3. Logo, não, os autovalores de A+B não são a soma dos autovalores de A e B. Isso ocorre porque A e B não comutam e não são simultaneamente diagonalizáveis.
Resposta
A:
Autovalores lambda=3,1.
Vetores próprios (2,1) para lambda=3 e (0,1) para lambda=1.
B:
Autovalores mu=1,3.
Vetores próprios (1,0) para mu=1 e (1,2) para mu=3.
A+B:
Autovalores nu=5,3.
Vetores próprios (1,1) para nu=5 e (1,-1) para nu=3.
Não, os autovalores de A+B não são iguais à soma dos autovalores de A e B.