Determine os autovalores e autovetores das matrizes
A=(ll 3 & 0 1 & 1 ), B=(ll 1 & 1 0 & 3 ), A+B=(ll 4 & 1 1 & 4 )
Os autovalores de A+B são iguais aos autovalores de A mais os autovalores de B?

Passo 1

O enunciado pede para determinar os autovalores e autovetores das matrizes
A=3&01&1, B=1&10&3, A+B=4&11&4
e verificar se os autovalores de A+B são iguais à soma dos autovalores de A e de B. Para isso vamos usar o polinômio característico det(M-lambda I)=0 para achar os autovalores e depois resolver (M-lambda I)x=0 para os autovetores.

Passo 2

Para
portanto
e .
Para , resolvemos
logo .
Para ,
então um vetor próprio é .

Passo 3

Para B, o polinômio característico é
detl(B-lambda Ir) =(1-lambda)(3-lambda)-0cdot1 =(1-lambda)(3-lambda)=0,
logo
mu1=1 e mu2=3.
Para mu1=1,
0&10&2x=0 Longrightarrow x2=0,;x1 livre,
vetor próprio w1=(1,0).
Para mu2=3,
-2&10&0x=0 Longrightarrow -2x1+x2=0implies x2=2x1,
vetor próprio w2=(1,2).

Passo 4

Para A+B=4&11&4,
detl((A+B)-lambda Ir) =(4-lambda)^2-1=0 Longrightarrow4-lambda=pm1,
portanto nu1=5 e nu2=3.
Para nu1=5:
-1&11&-1x=0 ;Longrightarrow; -x1+x2=0implies x2=x1,
vetor próprio u1=(1,1).
Para nu2=3:
1&11&1x=0 ;Longrightarrow; x1+x2=0implies x2=-x1,
vetor próprio u2=(1,-1).

Passo 5

Os autovalores de A são 3,1, de B são 1,3 e de A+B são 5,3. A soma de cada par de autovalores de A e B poderia dar 2,4,6, não 5,3. Logo, não, os autovalores de A+B não são a soma dos autovalores de A e B. Isso ocorre porque A e B não comutam e não são simultaneamente diagonalizáveis.

Resposta

A:
  • Autovalores lambda=3,1.
  • Vetores próprios (2,1) para lambda=3 e (0,1) para lambda=1.
B:
  • Autovalores mu=1,3.
  • Vetores próprios (1,0) para mu=1 e (1,2) para mu=3.
A+B:
  • Autovalores nu=5,3.
  • Vetores próprios (1,1) para nu=5 e (1,-1) para nu=3.
Não, os autovalores de A+B não são iguais à soma dos autovalores de A e B.

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