Determine todos os autovalores e autovetores da matriz
A=(llll 3 & 9 & 9 & 9 9 & 3 & 9 & 9 9 & 9 & 3 & 9 9 & 9 & 9 & 3 )

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar todos os autovalores e autovetores da matriz
A= 3 & 9 & 9 & 9 9 & 3 & 9 & 9 9 & 9 & 3 & 9 9 & 9 & 9 & 3
O conteúdo aqui é teoria de autovalores e autovetores de matrizes simétricas, e vamos usar propriedades da matriz J (a de todas as entradas iguais a 1) para facilitar o cálculo.

Passo 2

Repare que podemos escrever
A = 9,(J - I) + 3,I = 9J -6I,
onde J é a matriz 4times4 com todas as entradas iguais a 1 e I é a identidade. Isso ajuda porque sabemos os autovalores de J.

Passo 3

Os autovalores de J são
lambda1(J)=4(mu<iplicidade 1), lambda2(J)=0(mu<iplicidade 3)
Como A=9J-6I, seus autovalores serão
lambdai(A)=9,lambdai(J)-6
Logo
lambda1(A)=9cdot4-6=30,
e
lambda2,3,4(A)=9cdot0-6=-6

Passo 4

Para lambda=30, o autovetor associado a J é (1,1,1,1). Como a transformação é linear, em A também temos
A,(1,1,1,1)^T =30,(1,1,1,1)^T
Portanto todo múltiplo de (1,1,1,1) é autovetor de A para lambda=30.

Passo 5

Para lambda=-6, precisamos de vetores no núcleo de J, ou seja, com soma das componentes igual a zero. Um conjunto de três vetores linearmente independentes suficientes é, por exemplo,
v1=(1,-1,0,0), v2=(1,0,-1,0), v3=(1,0,0,-1)
Eles satisfazem Jvk=0 e, então,
A,vk=(9J-6I)vk=-6,vk,
para k=1,2,3.

Resposta

Autovalores de A:
lambda1=30 (multiplicidade 1),
lambda2=lambda3=lambda4=-6 (multiplicidade 3).
Autovetores correspondentes:
para lambda=30: vetores proporcionais a (1,1,1,1).
para lambda=-6: qualquer combinação linear de
(1,-1,0,0), (1,0,-1,0) e (1,0,0,-1).

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