O conteúdo aqui é teoria de autovalores e autovetores de matrizes simétricas, e vamos usar propriedades da matriz J (a de todas as entradas iguais a 1) para facilitar o cálculo.
Passo 2
Repare que podemos escrever
A = 9,(J - I) + 3,I = 9J -6I,
onde J é a matriz 4times4 com todas as entradas iguais a 1 e I é a identidade. Isso ajuda porque sabemos os autovalores de J.
Para lambda=30, o autovetor associado a J é (1,1,1,1). Como a transformação é linear, em A também temos
A,(1,1,1,1)^T =30,(1,1,1,1)^T
Portanto todo múltiplo de (1,1,1,1) é autovetor de A para lambda=30.
Passo 5
Para lambda=-6, precisamos de vetores no núcleo de J, ou seja, com soma das componentes igual a zero. Um conjunto de três vetores linearmente independentes suficientes é, por exemplo,
v1=(1,-1,0,0), v2=(1,0,-1,0), v3=(1,0,0,-1)
Eles satisfazem Jvk=0 e, então,
A,vk=(9J-6I)vk=-6,vk,
para k=1,2,3.
Resposta
Autovalores de A: lambda1=30 (multiplicidade 1), lambda2=lambda3=lambda4=-6 (multiplicidade 3).
Autovetores correspondentes:
para lambda=30: vetores proporcionais a (1,1,1,1).
para lambda=-6: qualquer combinação linear de (1,-1,0,0), (1,0,-1,0) e (1,0,0,-1).