Seja A uma matriz 3 times 3 real tal que A^3=I, onde I é a matriz identidade.
(2) É possivel que A seja diagonalizável sobre R? Explique.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz real 3times3 satisfazendo
A^3=I,
e pergunta se é possível que A seja diagonalizável sobre R.
O conteúdo envolvido é o polinômio mínimo de A, a fatoração de x^3-1 e o critério de diagonalização sobre R.

Passo 2

Como A^3=I, o polinômio mínimo mA(x) de A divide
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
Note que (x-1) é linear (raiz real x=1) e ,(x^2+x+1) é um quadrático cujo discriminante é
De<a = 1^2-4cdot1cdot1 = -3 < 0,
logo não se fatora em R.

Passo 3

Para que A seja diagonalizável sobre R, o polinômio mínimo mA(x) deve se decompor em fatores lineares distintos em R.
As únicas divisões possíveis de mA(x)mid(x-1)(x^2+x+1) são
mA(x)=x-1 ou mA(x)=(x-1)(x^2+x+1)

Passo 4

Se mA(x)=(x-1)(x^2+x+1), então há um fator quadrático irreducível em R, o que implica um bloco de tamanho 2 sem autovetores reais suficientes. Assim, não há base real de autovetores e A não é diagonalizável sobre R.
Se mA(x)=x-1, então A=I e aí sim A é diagonal (toda matriz identidade é diagonalizável).

Resposta

A única possibilidade para A ser diagonalizável sobre R é a trivial A=I. Em qualquer outro caso, aparecem autovalores complexos (raízes de x^2+x+1) que impedem a diagonalização em R.

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