Seja A uma matriz
real tal que
, onde
é a matriz identidade.
(2) É possivel que A seja diagonalizável sobre
? Explique.
(2) É possivel que A seja diagonalizável sobre
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz real
satisfazendo
e pergunta se é possível que
seja diagonalizável sobre
.
O conteúdo envolvido é o polinômio mínimo de , a fatoração de
e o critério de diagonalização sobre
.
O conteúdo envolvido é o polinômio mínimo de
Passo 2
Como
, o polinômio mínimo
de
divide
Note que
é linear (raiz real
) e
é um quadrático cujo discriminante é
logo não se fatora em
.
Passo 3
Para que
seja diagonalizável sobre
, o polinômio mínimo
deve se decompor em fatores lineares distintos em
.
As únicas divisões possíveis de são
As únicas divisões possíveis de
Passo 4
Se
, então há um fator quadrático irreducível em
, o que implica um bloco de tamanho
sem autovetores reais suficientes. Assim, não há base real de autovetores e
não é diagonalizável sobre
.
Se , então
e aí sim
é diagonal (toda matriz identidade é diagonalizável).
Se
Resposta
A única possibilidade para
ser diagonalizável sobre
é a trivial
. Em qualquer outro caso, aparecem autovalores complexos (raízes de
) que impedem a diagonalização em
.