Considere as seguintes matrizes:
B=(ccc1 & -1 & 3 0 & 2 & 5 3 & 4 & 7)
C=(ccc1 & 2 & 4 1 & 3 & 9 1 & 4 & 16)
D=(cccc2 & 5 & 7 & -1 0 & 0 & 2 & -2 0 & 3 & -3 & 4 0 & 1 & 2 & 1)
(c) Calcule a matriz inversa das matrizes
A, B, C e
D , usando a matriz adjunta.
(c) Calcule a matriz inversa das matrizes
Passo 1
O enunciado pede a inversa de quatro matrizes
AinR^2times2 ,
BinR^3times3 ,
CinR^3times3 e
DinR^4times4 usando a matriz adjunta. A teoria é: para qualquer matriz invertível
M ,
onde
adj(M) é a transposta da matriz dos cofatores de
M . No caso de
D , que é triangular em blocos, usaremos também a inversão por blocos.
Passo 2
Cálculo de
A^-1 .
A matriz é
A matriz é
– Determinante:
– Matriz de cofatores:
– Logo,
Passo 3
Cálculo de
B^-1 .
– Determinante (expansão na primeira linha):
– Matriz de cofatores
Cij e adjunta:
– Então
Passo 4
Cálculo de
C^-1 .
Note que é uma matriz de Vandermonde nos pontos
2,3,4 , logo
– Cofatores:
– Portanto
Passo 5
Cálculo de
D^-1 por blocos.
com
A=(2) ,
B=(5;7;-1) e
– Primeiro
det(D)=det(A)det(M)=2cdot(-16)=-32 .
– InvertimosM via adjunta:
det(M)=-16 e
adj(M) leva a
– Invertimos
– Como
D^-1=A^-1&-A^-1B,M^-10&M^-1 e
A^-1=1/2 , calculamos
– Assim
Resposta
\quad