Considere as seguintes matrizes:
A=(cc4 & 8 3 & -14)
B=(ccc1 & -1 & 3 0 & 2 & 5 3 & 4 & 7)
C=(ccc1 & 2 & 4 1 & 3 & 9 1 & 4 & 16)
D=(cccc2 & 5 & 7 & -1 0 & 0 & 2 & -2 0 & 3 & -3 & 4 0 & 1 & 2 & 1)
(c) Calcule a matriz inversa das matrizes A, B, C e D, usando a matriz adjunta.

Passo 1

O enunciado pede a inversa de quatro matrizes AinR^2times2, BinR^3times3, CinR^3times3 e DinR^4times4 usando a matriz adjunta. A teoria é: para qualquer matriz invertível M,
M^-1 ;=;1det(M),adj(M),
onde adj(M) é a transposta da matriz dos cofatores de M. No caso de D, que é triangular em blocos, usaremos também a inversão por blocos.

Passo 2

Cálculo de A^-1.
A matriz é
A=4 & 8[6pt]3 & -tfrac14
– Determinante:
det(A)=4cdotl(-tfrac14r)-8cdot3=-1-24=-25
– Matriz de cofatores:
C11&C12[4pt] C21&C22 = -tfrac14 & -,3[4pt] -,8 & 4 Longrightarrow adj(A) = -tfrac14 & -8[4pt] -3 & 4 ^!T = -tfrac14 & -3[4pt] -8 & 4
– Logo,
A^-1 =1-25, -tfrac14 & -3[4pt] -8 & 4 = tfrac1100 & -tfrac825[6pt] -tfrac325 & -tfrac425 ]

Passo 3

Cálculo de B^-1.
B= 1 & -1 & 3[4pt] 0 & 2 & 5[4pt] 3 & 4 & 7
– Determinante (expansão na primeira linha):
det(B) =1,(2cdot7-5cdot4)-(-1),(0cdot7-5cdot3)+3,(0cdot4-2cdot3) =-6+15-18=-9
– Matriz de cofatores Cij e adjunta:
Cij= -6 & 15 & -6[4pt] 19 & -2 & -7[4pt] -9 & -5 & 2 , adj(B) = Cij^T = -6 & 19 & -9[4pt] 15 & -2 & -5[4pt] -6 & -7 & 2
– Então
B^-1 =1-9, -6 & 19 & -9[4pt] 15 & -2 & -5[4pt] -6 & -7 & 2 = tfrac23 & -tfrac199 & 1[6pt] -tfrac53 & tfrac29 & tfrac59[6pt] tfrac23 & tfrac79 & -tfrac29 ]

Passo 4

Cálculo de C^-1.
C= 1 & 2 & 4[4pt] 1 & 3 & 9[4pt] 1 & 4 & 16
Note que é uma matriz de Vandermonde nos pontos 2,3,4, logo
det(C)=(3-2)(4-2)(4-3)=1cdot2cdot1=2
– Cofatores:
Cij= 12 & -7 & 1[4pt] -16 & 12 & -2[4pt] 6 & -5 & 1 , adj(C) = Cij^T = 12 & -16 & 6[4pt] -7 & 12 & -5[4pt] 1 & -2 & 1
– Portanto
C^-1 =12 12 & -16 & 6[4pt] -7 & 12 & -5[4pt] 1 & -2 & 1 = 6 & -8 & 3[4pt] -tfrac72 & 6 & -tfrac52[4pt] tfrac12 & -1 & tfrac12 ]

Passo 5

Cálculo de D^-1 por blocos.
D= 2 & 5 & 7 & -1[4pt] 0 & 0 & 2 & -2[4pt] 0 & 3 & -3 & 4[4pt] 0 & 1 & 2 & 1 = A & B[4pt] 0 & M ,
com A=(2), B=(5;7;-1) e
M= 0 & 2 & -2[4pt] 3 & -3 & 4[4pt] 1 & 2 & 1
– Primeiro det(D)=det(A)det(M)=2cdot(-16)=-32.
– Invertimos M via adjunta:
det(M)=-16 e
adj(M) leva a
M^-1 =1-16 -11 & -6 & 2[4pt] 1 & 2 & -6[4pt] 9 & 2 & -6 = tfrac1116 & tfrac38 & -tfrac18[4pt] -tfrac116& -tfrac18 & tfrac38[4pt] -tfrac916& -tfrac18 & tfrac38
– Como D^-1=A^-1&-A^-1B,M^-10&M^-1 e A^-1=1/2, calculamos
-,tfrac12,(5;7;-1),M^-1 =-tfrac12 l(tfrac5716,;tfrac98,;tfrac138r) =l(-tfrac5732,;-,tfrac916,;-,tfrac1316r)
– Assim
D^-1 = tfrac12 & -tfrac5732 & -tfrac916 & -tfrac1316[6pt] 0 & tfrac1116 & tfrac38 & -tfrac18[6pt] 0 & -tfrac116 & -tfrac18 & tfrac38[6pt] 0 & -tfrac916 & -tfrac18 & tfrac38 ]

Resposta

A^-1= tfrac1100 & -tfrac825[6pt] -tfrac325 & -tfrac425 ,
\quad
B^-1= tfrac23 & -tfrac199 & 1[4pt] -tfrac53 & tfrac29 & tfrac59[4pt] tfrac23 & tfrac79 & -tfrac29 ,
C^-1= 6 & -8 & 3[4pt] -tfrac72 & 6 & -tfrac52[4pt] tfrac12 & -1 & tfrac12 ,
D^-1= tfrac12 & -tfrac5732 & -tfrac916 & -tfrac1316[6pt] 0 & tfrac1116 & tfrac38 & -tfrac18[6pt] 0 & -tfrac116 & -tfrac18 & tfrac38[6pt] 0 & -tfrac916 & -tfrac18 & tfrac38 ]

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