Considere as seguintes matrizes:
A=(cc4 & 8 3 & -14)
B=(ccc1 & -1 & 3 0 & 2 & 5 3 & 4 & 7)
C=(ccc1 & 2 & 4 1 & 3 & 9 1 & 4 & 16)
D=(cccc2 & 5 & 7 & -1 0 & 0 & 2 & -2 0 & 3 & -3 & 4 0 & 1 & 2 & 1)
(a) Calcule a matriz dos cofatores das matrizes A, B, C e D.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de cofatores (também chamada de matriz dos complementos algébricos) de cada uma das matrizes A, B, C e D. Para isso, usaremos o fato de que, dado um elemento aij de uma matriz quadrada, seu cofator é
Cij = (-1)^i+jdet Mij,
onde Mij é a submatriz obtida ao suprimir a linha i e a coluna j.

Passo 2

Resumindo o procedimento para cada matriz quadrada de ordem n:
1. Para cada par (i,j), extrai-se Mij removendo-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
2. Calcula-se det Mij.
3. Aplica-se o fator de sinal (-1)^i+j.
4. Monta-se a matriz C = (Cij).

Passo 3

Para A=4 & 83 & -tfrac14 (ordem 2):
M11 = l(-tfrac14r),; M12 = (3),; M21 = (8),; M22 = (4)
Os cofatores são
C11 = (+1)cdotl(-tfrac14r) = -tfrac14, C12 = (-1)cdot(3) = -3,
C21 = (-1)cdot(8) = -8, C22 = (+1)cdot(4) = 4
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Cof(A)= -tfrac14 & -3 -8 & 4

Passo 4

Para
B= 1 & -1 & 3 0 & 2 & 5 3 & 4 & 7 ,
calcula-se cada Cij=(-1)^i+jdet Mij. O resultado combinado é
Cof(B)= -6 & 15 & -6 19 & -2 & -7 -11 & -5 & 2

Passo 5

Para
C= 1 & 2 & 4 1 & 3 & 9 1 & 4 &16 ,
faz-se o mesmo processo. O cálculo dos menores leva a
Cof(C)= 12 & -7 & 1 -16 & 12 & -2 6 & -5 & 1

Passo 6

Para
D= 2 & 5 & 7 & -1 0 & 0 & 2 & -2 0 & 3 & -3 & 4 0 & 1 & 2 & 1 ,
cada cofator exige o determinante de uma 3times3. Após eliminar colunas que tornam submatrizes com primeira coluna nula em muitos casos, obtém-se
Cof(D)= -16 & 0 & 0 & 0 57 & -22 & 2 & 18 18 & -12 & 4 & 4 26 & 4 & -12& -12

Resposta

Cof(A) = -tfrac14 & -3-8 & 4
Cof(B) = -6 & 15 & -619 & -2 & -7-11 & -5 & 2
Cof(C) = 12 & -7 & 1-16 & 12 & -26 & -5 & 1
Cof(D) = -16 & 0 & 0 & 057 & -22 & 2 & 1818 & -12 & 4 & 426 & 4 & -12 & -12

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