Verdadeiro ou falso? Se for falso, dê um exemplo no qual a propriedade falha.
( ) det(A^top)=det(A).

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade sobre determinantes e transposta:
detl(A^topr)=det(A)
O conteúdo é propriedades de determinante de matrizes quadradas.

Passo 2

Lembrando a definição de determinante via permutações, para A=(aij)i,j=1^n vale
det(A) =sumsigmain Sn!sgn(sigma)prodi=1^n ai,sigma(i)
Na matriz transposta A^top temos (A^top)i,j=aj,i, então
detl(A^topr) =sumsigmain Sn!sgn(sigma)prodi=1^n asigma(i),,i =sumtauin Sn!sgn(tau)prodi=1^n ai,,tau(i) =det(A),
onde no segundo passo trocamos a permutação sigma por tau=sigma^-1 e usamos sgn(tau)=sgn(sigma).

Passo 3

Portanto a igualdade det(A^top)=det(A) vale para toda matriz quadrada A.

Resposta

Verdadeiro.

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