Seja u, v e w vetores distintos. Mostre que se u, v, w é LI, então o conjunto:
u-2 v+w, 2 u+v+3 w, u+8 v+3 w
é LD.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores e dependência linear. A gente tem três vetores diferentes, u, v e w, e sabe que eles são linearmente independentes (LI). Nosso objetivo é mostrar que um novo conjunto de três vetores criados a partir deles é linearmente dependente (LD). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser LI ou LD e como manipular combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se au + bv + cw = 0 implica que a = b = c = 0.

Passo 3

Agora, a gente precisa analisar o novo conjunto de vetores:
u - 2v + w, 2u + v + 3w, u + 8v + 3w
Vamos chamar esses vetores de a, b e c respectivamente para facilitar.

Passo 4

Para mostrar que esse conjunto é LD, precisamos encontrar constantes k1, k2 e k3, não todas zero, tal que:
k1a + k2b + k3c = 0
Vamos substituir a, b e c pelas expressões dadas:
k1(u - 2v + w) + k2(2u + v + 3w) + k3(u + 8v + 3w) = 0

Passo 5

Vamos distribuir os k's:
k1u - 2k1v + k1w + 2k2u + k2v + 3k2w + k3u + 8k3v + 3k3w = 0
Agora, vamos agrupar os termos de u, v e w:
(k1 + 2k2 + k3)u + (-2k1 + k2 + 8k3)v + (k1 + 3k2 + 3k3)w = 0

Passo 6

Como u, v e w são LI, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
k1 + 2k2 + k3 = 0 -2k1 + k2 + 8k3 = 0 k1 + 3k2 + 3k3 = 0

Passo 7

Agora, temos um sistema de equações lineares. Vamos tentar resolver para ver se existe uma solução diferente de k1 = k2 = k3 = 0.
Vamos resolver a primeira equação para k1:
k1 = -2k2 - k3

Passo 8

Substituímos k1 na segunda e terceira equação:
Segunda equação:
-2(-2k2 - k3) + k2 + 8k3 = 0 4k2 + 2k3 + k2 + 8k3 = 0 5k2 + 10k3 = 0 k2 = -2k3
Terceira equação:
-2k2 - k3 + 3k2 + 3k3 = 0 k2 + 2k3 = 0
Substituindo k2 = -2k3:
-2k3 + 2k3 = 0 0 = 0

Passo 9

Isso significa que temos infinitas soluções, ou seja, existe uma combinação não trivial de k1, k2 e k3 que satisfaz o sistema. Por exemplo, se escolhermos k3 = 1, então k2 = -2 e k1 = 4 - 1 = 3.

Resposta

Portanto, mostramos que o conjunto u - 2v + w, 2u + v + 3w, u + 8v + 3w é linearmente dependente.

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