Seja e vetores distintos. Mostre que se é LI, então o conjunto:
é LD.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores e dependência linear. A gente tem três vetores diferentes, , e , e sabe que eles são linearmente independentes (LI). Nosso objetivo é mostrar que um novo conjunto de três vetores criados a partir deles é linearmente dependente (LD). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser LI ou LD e como manipular combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se implica que .
Passo 3
Agora, a gente precisa analisar o novo conjunto de vetores:
Vamos chamar esses vetores de , e respectivamente para facilitar.
Passo 4
Para mostrar que esse conjunto é LD, precisamos encontrar constantes , e , não todas zero, tal que:
Vamos substituir , e pelas expressões dadas:
Passo 5
Vamos distribuir os 's:
Agora, vamos agrupar os termos de , e :
Passo 6
Como , e são LI, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
Passo 7
Agora, temos um sistema de equações lineares. Vamos tentar resolver para ver se existe uma solução diferente de k1 = k2 = k3 = 0.
Isso significa que temos infinitas soluções, ou seja, existe uma combinação não trivial de k1, k2 e k3 que satisfaz o sistema. Por exemplo, se escolhermos k3 = 1, então k2 = -2 e k1 = 4 - 1 = 3.
Resposta
Portanto, mostramos que o conjunto u - 2v + w, 2u + v + 3w, u + 8v + 3w é linearmente dependente.