Considere as seguintes matrizes
cc A=[ccc -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 ], B=[cc 2 & -1 2 & 0 0 & 3 ], C=[ccc -2 & 1 & -1 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 ], D=[ccc d1 & 0 & 0 0 & d2 & 0 0 & 0 & d3 ], E1=[l 1 0 0 ], E2=[l 0 1 0 ], E3=[l 0 0 1 ]
Verifique que:
(a) A B é diferente de B A,

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A=-3 & 2 & 1 [6pt] 1 & 2 & -1, B=2 & -1 [3pt] 2 & 0 [3pt] 0 & 3
e pede para verificar que ABneq BA. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes, e vamos usar a definição de produto: o elemento (i,j) de um produto XY é dado pela soma dos produtos dos elementos da linha i de X pelos da coluna j de Y.]

Passo 2

Calculamos AB. Como A é 2times3 e B é 3times2, o produto AB será uma matriz 2times2.
O elemento (1,1) de AB é
(-3)cdot2 + 2cdot2 + 1cdot0 = -6 + 4 + 0 = -2,
o (1,2) é
(-3)cdot(-1) + 2cdot0 + 1cdot3 = 3 + 0 + 3 = 6,
o (2,1) é
1cdot2 + 2cdot2 + (-1)cdot0 = 2 + 4 + 0 = 6,
e o (2,2) é
1cdot(-1) + 2cdot0 + (-1)cdot3 = -1 + 0 - 3 = -4
Portanto,
AB = -2 & 6 [3pt] 6 & -4 ]

Passo 3

Agora calculamos BA. Como B é 3times2 e A é 2times3, o produto BA será uma matriz 3times3.
Para a primeira linha de BA (vinda da linha (2,-1) de B):
(1,1):;2cdot(-3) + (-1)cdot1 = -6 -1 = -7, (1,2):;2cdot2 + (-1)cdot2 = 4 -2 = 2, (1,3):;2cdot1 + (-1)cdot(-1) = 2 +1 = 3
Para a segunda linha de BA (vinda de (2,0)):
(2,1):;2cdot(-3) + 0cdot1 = -6, (2,2):;2cdot2 + 0cdot2 = 4, (2,3):;2cdot1 + 0cdot(-1) = 2
Para a terceira linha de BA (vinda de (0,3)):
(3,1):;0cdot(-3) + 3cdot1 = 3, (3,2):;0cdot2 + 3cdot2 = 6, (3,3):;0cdot1 + 3cdot(-1) = -3
Assim,
BA = -7 & 2 & 3 [3pt] -6 & 4 & 2 [3pt] 3 & 6 & -3 ]

Passo 4

Observamos que AB é uma matriz 2times2 enquanto BA é 3times3. Como elas têm dimensões diferentes, certamente
AB neq BA

Resposta

ABneq BA.

Exercícios relacionados