Determine todos os autovalores lambda in R com seus correspondentes subespaços associados Vlambda.
T: R^2 R^2 com T(x, y)=(2 x-y,-x+y)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os autovalores lambdainR e, para cada um, o subespaço próprio Vlambda=vinR^2mid T(v)=lambda v. O conteúdo é autovalores e autovetores de uma transformação linear em R^2; vamos precisar montar a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico, achar suas raízes e, em seguida, resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Na base canônica e1,e2, T tem matriz
A= 2 & -1 -1 & 1 ,
pois T(x,y)=(2x-y,,-x+y).

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det 2-lambda & -1 -1 & 1-lambda =(2-lambda)(1-lambda)-(-1)(-1) =lambda^2-3lambda+1

Passo 4

As raízes de lambda^2-3lambda+1=0 são
lambda1,2 =3pmraiz9-42 =3pmraiz52

Passo 5

Para cada resolvemos .
  1. Se , então
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  1. Se , então
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Resposta

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