Considere as seguintes matrizes.
A=(cc 1 & 2 3 & -4 ), B=(cc 5 & 0 -6 & 7 ), C=(ccc 1 & -3 & 4 2 & 6 & -5 ), D=(ccc 3 & 7 & -1 4 & -8 & 9 )
Encontre A^2, A^3, A D, B D e C D.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A=1 & 2 [6pt] 3 & -4, B=5 & 0 [6pt] -6 & 7, C=1 & -3 & 4 [4pt] 2 & 6 & -5, D=3 & 7 & -1 [4pt] 4 & -8 & 9
e pede para calcular A^2, A^3, A D, B D e C D. Vamos usar a definição de potência de matriz ( A^2 = Acdot A, A^3 = A^2cdot A) e a multiplicação de matrizes (produto de uma linha pela coluna).]

Passo 2

Para A^2 = Acdot A, fazemos
A^2 = 1 & 2 [4pt] 3 & -4 1 & 2 [4pt] 3 & -4 = 1cdot1 + 2cdot3 & 1cdot2 + 2cdot(-4) [6pt] 3cdot1 + (-4)cdot3 & 3cdot2 + (-4)cdot(-4) = 7 & -6 [4pt] -9 & 22 ]

Passo 3

Para A^3 = A^2cdot A, usamos o resultado anterior:
A^3 = 7 & -6 [4pt] -9 & 22 1 & 2 [4pt] 3 & -4 = 7cdot1 + (-6)cdot3 & 7cdot2 + (-6)cdot(-4) [6pt] (-9)cdot1 + 22cdot3 & (-9)cdot2 + 22cdot(-4) = -11 & 38 [4pt] 57 & -106 ]

Passo 4

Para A D (matriz 2times2 vezes 2times3), cada entrada é o produto linha– coluna:
A D = 1 & 2 [4pt] 3 & -4 3 & 7 & -1 [4pt] 4 & -8 & 9 = 1cdot3 + 2cdot4 & 1cdot7 + 2cdot(-8) & 1cdot(-1) + 2cdot9 [6pt] 3cdot3 + (-4)cdot4 & 3cdot7 + (-4)cdot(-8) & 3cdot(-1) + (-4)cdot9 = 11 & -9 & 17 [4pt] -7 & 53 & -39 ]

Passo 5

Para B D:
B D = 5 & 0 [4pt] -6 & 7 3 & 7 & -1 [4pt] 4 & -8 & 9 = 5cdot3 + 0cdot4 & 5cdot7 + 0cdot(-8) & 5cdot(-1) + 0cdot9 [6pt] (-6)cdot3 + 7cdot4 & (-6)cdot7 + 7cdot(-8) & (-6)cdot(-1) + 7cdot9 = 15 & 35 & -5 [4pt] 10 & -98 & 69 ]

Passo 6

Para C D, note que C é 2times3 e D é 2times3. O produto de matrizes só existe se o número de colunas de C for igual ao número de linhas de D. Aqui 3neq2, logo C D não está definida.

Resposta

A^2 = 7 & -6 [4pt] -9 & 22, A^3 = -11 & 38 [4pt] 57 & -106,
A D = 11 & -9 & 17 [4pt] -7 & 53 & -39, B D = 15 & 35 & -5 [4pt] 10 & -98 & 69,
C D não está definida, pois o número de colunas de C ( 3) é diferente do número de linhas de D ( 2).]

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