Considere as seguintes matrizes.
A=(cc 1 & 2 3 & -4 ), B=(cc 5 & 0 -6 & 7 ), C=(ccc 1 & -3 & 4 2 & 6 & -5 ), D=(ccc 3 & 7 & -1 4 & -8 & 9 )
(a) Encontre 5 A-2 B, 2 A+3 B e 2 C-3 D.
(b) Encontre A B,(A B) C, B C e A(B C).
(c) Encontre A^2, A^3, A D, B D e C D.
(d) Encontre A^T, B^T,(A B)^T e A^T B^T.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A=1&23&-4,; B=5&0-6&7,; C=1&-3&42&6&-5,; D=3&7&-14&-8&9
e pede:
bul<=t (a) combinações lineares ( 5A-2B, 2A+3B, 2C-3D);
bul<=t (b) produtos ( AB, (AB)C, BC, A(BC));
bul<=t (c) potências e produtos mistos ( A^2, A^3, AD, BD, CD);
bul<=t (d) transpostas ( A^T, B^T, (AB)^T, A^T B^T).
Vamos usar as definições padrão: para combinações lineares escalares operamos elemento a elemento, para produto de matrizes usamos a regra “linha de uma times coluna da outra”, para potências repetimos produtos e para transposta invertemos linhas e colunas.

Passo 2

Parte (a): combinações lineares
1. Calcular 5A e 2B:
5A=5&1015&-20, 2B=10&0-12&14
Logo
5A-2B=5-10&10-015-(-12)&-20-14 =-5&1027&-34
2. Calcular 2A e 3B:
2A=2&46&-8, 3B=15&0-18&21
Logo
2A+3B=2+15&4+06+(-18)&-8+21 =17&4-12&13
3. Calcular 2C e 3D:
2C=2&-6&84&12&-10, 3D=9&21&-312&-24&27
Logo
2C-3D=2-9&-6-21&8-(-3)4-12&12-(-24)&-10-27 =-7&-27&11-8&36&-37

Passo 3

Parte (b): produtos de matrizes
1. Produto AB ( 2times2 times 2times2):
AB= 1cdot5+2cdot(-6)&1cdot0+2cdot7 3cdot5+(-4)cdot(-6)&3cdot0+(-4)cdot7 =-7&1439&-28
2. Produto (AB)C ( 2times2 times 2times3):
(AB)C =-7&1439&-28 1&-3&42&6&-5 =21&105&-98-17&-285&296
3. Produto BC ( 2times2 times 2times3):
BC =5&0-6&7 1&-3&42&6&-5 =5&-15&208&60&-59
4. Produto A(BC) ( 2times2 times 2times3):
A(BC) =1&23&-4 5&-15&208&60&-59 =21&105&-98-17&-285&296
Observação: (AB)C = A(BC), confirmando a associatividade.

Passo 4

Parte (c): potências e produtos mistos
1. A^2 = Acdot A:
A^2=1&23&-4 1&23&-4 =7&-6-9&22
2. A^3 = A^2cdot A:
A^3=7&-6-9&22 1&23&-4 =-11&3857&-106
3. AD ( 2times2 times 2times3):
AD=1&23&-4 3&7&-14&-8&9 =11&-9&17-7&53&-39
4. BD ( 2times2 times 2times3):
BD=5&0-6&7 3&7&-14&-8&9 =15&35&-510&-98&69
5. CD não está definida, pois C é 2times3 e D também é 2times3, e para multiplicar precisamos que o número de colunas de C ( 3) seja igual ao número de linhas de D ( 2).

Passo 5

Parte (d): transpostas
1.
A^T=1&32&-4, B^T=5&-60&7
2.
(AB)^T =-7&1439&-28^T =-7&3914&-28
3.
A^T B^T =1&32&-4 5&-60&7 =5&1510&-40

Resposta

(a)
5A-2B=-5&1027&-34, 2A+3B=17&4-12&13, 2C-3D=-7&-27&11-8&36&-37
(b)
AB=-7&1439&-28, (AB)C=21&105&-98-17&-285&296, BC=5&-15&208&60&-59, A(BC)=21&105&-98-17&-285&296
(c)
A^2=7&-6-9&22, A^3=-11&3857&-106, AD=11&-9&17-7&53&-39, BD=15&35&-510&-98&69, CD não está definido ãá
(d)
A^T=1&32&-4, B^T=5&-60&7, (AB)^T=-7&3914&-28, A^T B^T=5&1510&-40

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