Considere os sistemas seguinteq nas incógnitas
(b)
Para quais valores de o sistems dado tem solução única e para quais pares de valores o sistema tem mais do que uma solução? O valor de não influi no sitema ter, ou não solução única. Por quê?

Passo 1

Vamos estudar cada sistema como uma equação matricial do tipo
A,x = c,
onde A é a matriz dos coeficientes (depende de a), x=(x,y,z)^T e c envolve o parâmetro b. Uma solução única existe exatamente quando det Aneq0 (isto é, A inversível), e infinitas soluções ocorrem se det A=0 mas o sistema for consistente (posto ampliado = posto da matriz).

Passo 2

Sistema (a):
x - 2y + 0cdot z = 1, x - y + a z = 2, 0cdot x + a y + 9z = b
A matriz de coeficientes é
Aa = 1 & -2 & 0 1 & -1 & a 0 & a & 9
Calculamos
det Aa =1cdotdet-1 & a a & 9 -(-2)cdotdet1 & a0 & 9 =(-1cdot9 - a^2) + 2cdot(1cdot9) =9 - a^2
Logo
det Aa = (3 - a)(3 + a)
Portanto o sistema (a) tem solução única se, e somente se,
a neq 3 e a neq -3

Passo 3

Quando a=3 ou a=-3, det Aa=0. Para ver se há infinitas soluções, impomos consistência:
  • Se a=3, as duas primeiras equações reduzem, via x=1+2y, a
    y + 3z = 1,
    e a terceira é
    3y + 9z = b ;Longrightarrow;3(y+3z)=b;Longrightarrow;b=3
    Para b=3 temos posto ampliado = posto =2 e infinitas soluções (parametrizadas por z).
  • Se a=-3, de modo análogo chegamos a
    y - 3z = 1, -3y +9z = b;Longrightarrow;b=-3,
    e então infinitas soluções se, e só se, b=-3.
Em qualquer outro caso de a=pm3 mas b diferente desses valores, o sistema é inconsistente (sem solução).

Passo 4

Sistema (b):
A matriz de coeficientes é
Calculamos
Logo exatamente se

Passo 5

Quando det Ab=0, temos dois casos:
  • a=1: todas as linhas de Ab coincidem e o sistema vira
    ,x+y+z=1,;x+y+z=4,;x+y+z=b, que só seria consistente se 1=4=b, impossível. Logo sem solução para todo b.
  • a=-2: as linhas satisfazem r1+r2+r3=0, e a consistência exige
    1 + 4 + b = 0 ;Longrightarrow; b = -5
    Nesse caso o posto ampliado =2= posto de Ab e há infinitas soluções.

Passo 6

Note que a existência de solução única depende só de det Aneq0, ou seja, apenas de a. O parâmetro b só aparece no vetor independente c e não interfere na invertibilidade de A. Por isso b não afeta o critério de ter ou não solução única.

Resposta

(a) Solução única se aneq3 e aneq-3. Infinitas soluções para
(a,b)=(3,3)ou(a,b)=(-3,-3)
(b) Solução única se aneq1 e aneq-2. Infinitas soluções somente quando
(a,b)=(-2,-5)
O valor de b não altera a condição de solução única porque esta se baseia apenas em det Aneq0, logo independe do termo independente.

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