Considere as seguintes matrizes: A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 3 & -4\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}5 & 0 \\\\ -6 & 7\end{array}\right). Encontre:
(A B)^{T}

Passo 1

O enunciado pede (AB)^{T}, ou seja, primeiro fazemos o produto de matrizes AB e depois aplicamos a transposição. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes 2\times 2 e em seguida uso da definição de transposta.

Passo 2

Calculamos o produto
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 3 & -4\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}5 & 0 \\[6pt] -6 & 7\end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot(-6) & 1\cdot0 + 2\cdot7 \\[6pt] 3\cdot5 + (-4)\cdot(-6) & 3\cdot0 + (-4)\cdot7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 & 14 \\[6pt] 39 & -28\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora aplicamos a transposição, trocando linhas por colunas:
(AB)^{T} = \begin{pmatrix}-7 & 14 \\[6pt] 39 & -28\end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix}-7 & 39 \\[6pt] 14 & -28\end{pmatrix}.]

Resposta

(AB)^{T} = \begin{pmatrix}-7 & 39 \\[6pt] 14 & -28\end{pmatrix}.]

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