Considere as seguintes matrizes: A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 3 & -4\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}5 & 0 \\\\ -6 & 7\end{array}\right). Encontre:
A^{T} B^{T}

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & -4\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}5 & 0 \\\\ -6 & 7\end{pmatrix}
e pede o produto A^T B^T. O conteúdo envolve transposição de matrizes (troca de linhas por colunas) e multiplicação de matrizes (produto escalar entre linhas e colunas).

Passo 2

Calculamos as transpostas de A e B:
A^T = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 2 & -4\end{pmatrix}, \qquad B^T = \begin{pmatrix}5 & -6 \\\\ 0 & 7\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora multiplicamos
A^T B^T = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 2 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 & -6 \\\\ 0 & 7\end{pmatrix}.
O elemento (i,j) é obtido somando o produto dos elementos da linha i de A^T pelos da coluna j de B^T. Assim:
(A^T B^T)_{11} = 1\cdot5 + 3\cdot0 = 5, \quad (A^T B^T)_{12} = 1\cdot(-6) + 3\cdot7 = 15,
(A^T B^T)_{21} = 2\cdot5 + (-4)\cdot0 = 10, \quad (A^T B^T)_{22} = 2\cdot(-6) + (-4)\cdot7 = -40.

Resposta

A^T B^T = \begin{pmatrix}5 & 15 \\[6pt]10 & -40\end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados