Considere as seguintes matrizes
A=\left(\begin{array}{ccc} x & -2 & 1 \\\\ 0 & x+1 & 3 \\\\ 1 & -5 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} x & 1 & 1 \\\\ 2 & x & 3 \\\\ -1 & 5 & x \end{array}\right) \text { e } C=\left(\begin{array}{cc} x^{2} & 2 x \\\\ 10 & x \end{array}\right)
Resolva as seguintes equações:
\operatorname{det}(A)=9.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} x & -2 & 1 \\\\ 0 & x+1 & 3 \\\\ 1 & -5 & 1 \end{pmatrix}
onde x é o número desconhecido, e pede para resolver a equação
\det(A)=9.
Ou seja: encontrar todos os valores de x tais que o determinante da matriz A valha 9.

Passo 2

Vou calcular \det(A) usando a expansão por cofatores (expansão de Laplace) ao longo da primeira coluna. Vou primeiro lembrar a ideia de forma bem didática.
  • Para uma matriz 3\times3 A=(a_{ij}), a expansão por cofatores ao longo da primeira coluna escreve
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) é o cofator e M_{ij} é a matriz obtida de A ao eliminar a linha i e a coluna j (chamada menor complementar).
  • Aqui isso é útil porque a_{21}=0, o que simplifica bastante os cálculos.

Passo 3

Calcular os menores necessários.
  • Para a_{11}=x: o menor M_{11} é a matriz obtida eliminando linha 1 e coluna 1,
M_{11}=\begin{pmatrix}x+1 & 3 \\\\ -5 & 1\end{pmatrix}.
O determinante desse menor é
\det(M_{11})=(x+1)\cdot 1 - 3\cdot(-5)=x+1+15=x+16.
O cofator (C_{11}=(-1)^{1+1}\det(M_{11})=+1\cdot (x+16)=x+16.
  • Para a_{31}=1: o menor M_{31} é a matriz obtida eliminando linha 3 e coluna 1,
M_{31}=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\\ x+1 & 3\end{pmatrix}.
O determinante desse menor é
\det(M_{31})=(-2)\cdot 3 - 1\cdot(x+1)=-6 - x -1 = -x -7.
O cofator C_{31}=(-1)^{3+1}\det(M_{31})=+1\cdot(-x-7)=-x-7.

Passo 4

Agora montamos \det(A) pela expansão ao longo da primeira coluna:
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}=x\cdot(x+16)+0\cdot(\cdot)+1\cdot(-x-7).
Simplificando:
\det(A)=x(x+16)-x-7=x^{2}+16x-x-7=x^{2}+15x-7.

Passo 5

Impondo a condição do enunciado \det(A)=9, obtemos a equação em x:
x^{2}+15x-7=9.
Transpondo o 9 para o lado esquerdo:
x^{2}+15x-16=0.

Passo 6

Resolver a equação quadrática. Uso a fórmula quadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde, no polinômio ax^{2}+bx+c, temos a=1, b=15, c=-16.
Calcular o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=15^{2}-4\cdot1\cdot(-16)=225+64=289=17^{2}.
Logo
x=\frac{-15\pm17}{2}.
Isso dá as duas soluções
x=\frac{-15+17}{2}=\frac{2}{2}=1
e
x=\frac{-15-17}{2}=\frac{-32}{2}=-16.

Passo 7

Verificação rápida (só para ficar tranquilo): substituir em \det(A)=x^{2}+15x-7.
  • Para x=1: 1^{2}+15\cdot1-7=1+15-7=9.
  • Para x=-16: (-16)^{2}+15(-16)-7=256-240-7=9.
    Ambas satisfazem a condição pedida.

Resposta

x=1
x=-16

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