Considere as seguintes matrizes
Resolva as seguintes equações:
.
Passo 1
O enunciado dá três matrizes dependendo de
:
A pergunta que devemos responder é:
- Resolver a equação
, ou seja, encontrar todos os valores de que tornam os determinantes iguais.
As informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado) são as entradas das matrizes
e
. Não é preciso usar a matriz
para esta equação.
Passo 2
Vou lembrar e explicar como calcular determinantes que vamos precisar.
- Para uma matriz
o determinante é
Aqui
são as entradas nas posições óbvias:
é canto superior esquerdo, etc.
- Para uma matriz
é conveniente usar a expansão pela primeira linha (ou qualquer linha/coluna). Se
então a expansão pela primeira linha dá
Cada
aí é um determinante
, que calcula-se com a fórmula acima. Vou aplicar isso a
passo a passo.
Passo 3
Calcular
por expansão pela primeira linha. Em
temos
,
,
. Então
Agora calculo cada determinante
:
- Primeiro menor:
- Segundo menor:
- Terceiro menor:
Substituindo esses resultados:
Passo 4
Simplifico a expressão de
passo a passo:
Agora junto os termos semelhantes (coeficientes de
, de
e constantes):
- Termo
: . - Termos em
: . - Constantes:
.
Portanto
Passo 5
Calcular
. Como
é
,
Expliquei: multiplica-se a diagonal principal e subtrai-se o produto da outra diagonal.
Passo 6
Agora imponho a igualdade pedida:
ou seja
Posso simplificar cancelando
em ambos os lados (propriedade básica de igualdade de polinômios). Subtraindo
de ambos os membros obtém-se:
Agrupo termos em
no mesmo lado. Por exemplo, adiciono
aos dois lados:
Então isolo
:
Passo 7
Verificação rápida plugando
nas fórmulas obtidas:
-
. Substituindo :
Calculemos em partes:
. E
. Então
Escrevendo
obtemos
.
-
. Substituindo:
E
, logo
As duas expressões coincidem, confirmando que
é solução correta.