Considere as seguintes matrizes
A=\left(\begin{array}{ccc} x & -2 & 1 \\\\ 0 & x+1 & 3 \\\\ 1 & -5 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} x & 1 & 1 \\\\ 2 & x & 3 \\\\ -1 & 5 & x \end{array}\right) \text { e } C=\left(\begin{array}{cc} x^{2} & 2 x \\\\ 10 & x \end{array}\right)
Resolva as seguintes equações:
\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}\text{(C)}.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes dependendo de x:
A=\begin{pmatrix} x & -2 & 1 \\\\ 0 & x+1 & 3 \\\\ 1 & -5 & 1 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\\\ 2 & x & 3 \\\\ -1 & 5 & x \end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix} x^{2} & 2x \\\\ 10 & x \end{pmatrix}.
A pergunta que devemos responder é:
  • Resolver a equação \det(B)=\det\text{(C)}, ou seja, encontrar todos os valores de x que tornam os determinantes iguais.
As informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado) são as entradas das matrizes B e C. Não é preciso usar a matriz A para esta equação.

Passo 2

Vou lembrar e explicar como calcular determinantes que vamos precisar.
  • Para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
o determinante é
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são as entradas nas posições óbvias: a é canto superior esquerdo, etc.
  • Para uma matriz 3\times3 é conveniente usar a expansão pela primeira linha (ou qualquer linha/coluna). Se
N=\begin{pmatrix} n_{11} & n_{12} & n_{13}\\\ n_{21} & n_{22} & n_{23}\\\ n_{31} & n_{32} & n_{33} \end{pmatrix},
então a expansão pela primeira linha dá
\det(N)=n_{11}\det\begin{pmatrix} n_{22} & n_{23}\\\ n_{32} & n_{33}\end{pmatrix} - n_{12}\det\begin{pmatrix} n_{21} & n_{23}\\\ n_{31} & n_{33}\end{pmatrix} + n_{13}\det\begin{pmatrix} n_{21} & n_{22}\\\ n_{31} & n_{32}\end{pmatrix}.
Cada \det(\cdot) aí é um determinante 2\times2, que calcula-se com a fórmula acima. Vou aplicar isso a B passo a passo.

Passo 3

Calcular \det(B) por expansão pela primeira linha. Em B temos n_{11}=x, n_{12}=1, n_{13}=1. Então
\det(B)=x\det\begin{pmatrix} x & 3 \\\\ 5 & x \end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\\\ -1 & x \end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix} 2 & x \\\\ -1 & 5 \end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times2:
  • Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix} x & 3 \\\\ 5 & x \end{pmatrix} = x\cdot x - 3\cdot 5 = x^{2}-15.
  • Segundo menor:
\det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\\\ -1 & x \end{pmatrix} = 2\cdot x - 3\cdot(-1) = 2x + 3.
  • Terceiro menor:
\det\begin{pmatrix} 2 & x \\\\ -1 & 5 \end{pmatrix} = 2\cdot 5 - x\cdot(-1) = 10 + x.
Substituindo esses resultados:
\det(B)=x(x^{2}-15) - (2x+3) + (10+x).

Passo 4

Simplifico a expressão de \det(B) passo a passo:
\det(B)=x^{3}-15x -2x -3 +10 + x.
Agora junto os termos semelhantes (coeficientes de x^{3}, de x e constantes):
  • Termo x^{3}: x^{3}.
  • Termos em x: -15x -2x + x = -16x.
  • Constantes: -3 + 10 = 7.
Portanto
\det(B)=x^{3}-16x+7.

Passo 5

Calcular \det\text{(C)}. Como C é 2\times2,
\det\text{(C)}=\bigl(x^{2}\bigr)\cdot x - (2x)\cdot 10 = x^{3} - 20x.
Expliquei: multiplica-se a diagonal principal e subtrai-se o produto da outra diagonal.

Passo 6

Agora imponho a igualdade pedida:
\det(B)=\det\text{(C)}
ou seja
x^{3}-16x+7 = x^{3}-20x.
Posso simplificar cancelando x^{3} em ambos os lados (propriedade básica de igualdade de polinômios). Subtraindo x^{3} de ambos os membros obtém-se:
-16x+7 = -20x.
Agrupo termos em x no mesmo lado. Por exemplo, adiciono 20x aos dois lados:
(-16x+7)+20x = 0 \quad\Rightarrow\quad 4x+7=0.
Então isolo x:
4x = -7 \quad\Rightarrow\quad x = -\dfrac{7}{4}.

Passo 7

Verificação rápida plugando x=-\dfrac{7}{4} nas fórmulas obtidas:
  • \det(B)=x^{3}-16x+7. Substituindo x=-\dfrac{7}{4}:
\det(B)=\left(-\dfrac{7}{4}\right)^{3}-16\left(-\dfrac{7}{4}\right)+7.
Calculemos em partes: \left(-\dfrac{7}{4}\right)^{3}=-\dfrac{343}{64}. E -16\left(-\dfrac{7}{4}\right)=16\cdot\dfrac{7}{4} =4\cdot7=\!28. Então
\det(B)=-\dfrac{343}{64}+28+7 = -\dfrac{343}{64}+35.
Escrevendo 35=\dfrac{2240}{64} obtemos \det(B)=\dfrac{2240-343}{64}=\dfrac{1897}{64}.
  • \det\text{(C)}=x^{3}-20x. Substituindo:
\det\text{(C)}=-\dfrac{343}{64} -20\left(-\dfrac{7}{4}\right) = -\dfrac{343}{64} +20\cdot\dfrac{7}{4}.
E 20\cdot\dfrac{7}{4}=5\cdot7=35, logo
\det\text{(C)}=-\dfrac{343}{64}+35 = \dfrac{1897}{64}.
As duas expressões coincidem, confirmando que x=-\dfrac{7}{4} é solução correta.

Resposta

x=-\dfrac{7}{4}

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