As matrizes aumentadas a seguir estão na forma linha degrau. Em cada caso, indique se o sistema linear correspondente é consistente. Se o sistema tiver uma única solução, encontre-a. \left[\begin{array}{rr:r}1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a seguinte matriz aumentada já em forma linha degrau (peguei todos os números da matriz fornecida):
Indicar se o sistema linear correspondente é consistente.
Se o sistema tiver única solução, encontrar essa solução.
Passo 2
Como interpretar a matriz aumentada: há duas colunas à esquerda da barra de aumento (portanto duas incógnitas) e a coluna à direita da barra são os termos constantes. Vou chamar as incógnitas de \,x e \,y, correspondendo às colunas na ordem:
primeira coluna: coeficientes de \,x,
segunda coluna: coeficientes de \,y,
terceira coluna (após os dois pontos): termos constantes.
A terceira linha é \,0=0, que não impõe restrição adicional. A matriz está em forma linha degrau, o que facilita resolver por substituição regressiva.
Passo 3
Escrevendo cada linha como uma equação (peguei os coeficientes diretamente da matriz):
Primeira linha:
1\cdot x + 3\cdot y = 1
Segunda linha:
0\cdot x + 1\cdot y = -1
Terceira linha:
0=0
Passo 4
Resolver a segunda equação (é a mais simples): da segunda linha temos diretamente
y = -1.
Explanação didática: quando uma linha tem só um coeficiente não nulo para uma incógnita (a chamada variável básica ou pivô), essa equação isola essa incógnita e podemos ler seu valor diretamente — isso é substituição regressiva.
Passo 5
Substituir \,y=-1 na primeira equação e resolver para \,x. A primeira equação era
x + 3y = 1.
Substituindo \,y=-1:
x + 3(-1) = 1.
Calcular o lado esquerdo:
x - 3 = 1.
Isolando x:
x = 1 + 3 = 4.
Passo 6
Verificação rápida (checar que os valores satisfazem ambas as equações): para (x,y)=(4,-1),
primeira equação: 4 + 3(-1) = 4 - 3 = 1 (confere),
segunda: -1 = -1 (confere).
Consistência e unicidade — por que afirmo que é consistente e única?
Consistente: não existe nenhuma linha do tipo [0\\\ 0 : c] com c\neq0 (linha contraditória). Aqui a única linha nula é [0\\\ 0 : 0], que é compatível.
Única solução: há pivôs (entradas 1 que lideram linhas não nulas) nas duas primeiras colunas, ou seja, duas variáveis e duas equações independentes efetivas. Quando o número de variáveis básicas (pivôs) é igual ao número de incógnitas e não há contradição, a solução é única.