Fatore cada uma das matrizes como um produto P D P^{-1}, onde D é diagonal. A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: fatorar a matriz A como um produto P D P^{-1}, onde D é diagonal.
A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz A é 2\times2.
Precisamos encontrar uma matriz P (invertível) cujas colunas sejam autovetores de A, e uma matriz diagonal D com os autovalores correspondentes nas posições da diagonal, de modo que A = P D P^{-1}.]
Passo 2
Encontrar os autovalores de A resolvendo o polinômio característico. Para isso calculamos \det(A-\lambda I).
A-\lambda I = \begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix}.
O determinante de uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} é ad-bc. Aplicando aqui:
que implica y=-x. Um autovetor associado a \lambda_{2}=-1 é
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Observação útil: os vetores v_{1} e v_{2} são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), logo formam uma base de \mathbb{R}^{2} e permitem diagonalizar A.]
Passo 4
Construir P com as colunas sendo os autovetores v_{1} e v_{2}, e D com os autovalores correspondentes na diagonal (na mesma ordem das colunas de P):
P D P^{-1} = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = A,
como queríamos. Assim a fatoração está correta.
Comentário final rápido (útil para prova): se preferir uma matriz P ortogonal (o que simplifica porque P^{-1}=P^{T}), pode normalizar os autovetores dividindo-os por \sqrt{2}:
Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}, \quad\text{então}\quad A = Q D Q^{T}.ã]
Resposta
A = P D P^{-1},\quad P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},\quad P^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]