Fatore cada uma das matrizes como um produto P D P^{-1}, onde D é diagonal.
A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: fatorar a matriz A como um produto P D P^{-1}, onde D é diagonal.
A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é 2\times2.
  • Precisamos encontrar uma matriz P (invertível) cujas colunas sejam autovetores de A, e uma matriz diagonal D com os autovalores correspondentes nas posições da diagonal, de modo que A = P D P^{-1}.]

Passo 2

Encontrar os autovalores de A resolvendo o polinômio característico. Para isso calculamos \det(A-\lambda I).
A-\lambda I = \begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix}.
O determinante de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} é ad-bc. Aplicando aqui:
\det(A-\lambda I)=(-\lambda)(-\lambda)-1\cdot1=\lambda^{2}-1.
Então o polinômio característico é \lambda^{2}-1=0, cuja solução dá os autovalores:
\lambda^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm 1.
Portanto os autovalores são \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=-1.]

Passo 3

Para cada autovalor, encontramos um autovetor não-nulo resolvendo (A-\lambda I)v=0.
Para \lambda_{1}=1:
A-I = \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
A equação (A-I)v=0 para v=(x,y)^{T} gera o sistema
- x + y = 0,\\[4pt] x - y = 0.
Ambas equações são equivalentes e implicam y=x. Assim um autovetor associado a \lambda_{1}=1 é, por exemplo,
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix},
qualquer múltiplo escalar de v_{1} também serve.
Para \lambda_{2}=-1:
A+I = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
A equação (A+I)v=0 gera o sistema
x + y = 0,\\[4pt] x + y = 0,
que implica y=-x. Um autovetor associado a \lambda_{2}=-1 é
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Observação útil: os vetores v_{1} e v_{2} são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), logo formam uma base de \mathbb{R}^{2} e permitem diagonalizar A.]

Passo 4

Construir P com as colunas sendo os autovetores v_{1} e v_{2}, e D com os autovalores correspondentes na diagonal (na mesma ordem das colunas de P):
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Agora calculamos P^{-1}. Para uma matriz 2\times2 P=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt] c&d\end{pmatrix}, a inversa é
P^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix},
desde que o determinante ad-bc\neq 0. Aqui a=1,b=1,c=1,d=-1, então
\det(P)=1\cdot(-1)-1\cdot1=-2\neq 0.
Aplicando a fórmula:
P^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificar que A=P D P^{-1} multiplicando as matrizes passo a passo.
Primeiro calcular P D:
P D = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Agora multiplicar por P^{-1}:
P D P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação entrada a entrada:
  • Entrada (1,1): 1\cdot\tfrac{1}{2} + (-1)\cdot\tfrac{1}{2} = 0.
  • Entrada (1,2): 1\cdot\tfrac{1}{2} + (-1)\cdot(-\tfrac{1}{2}) = 1.
  • Entrada (2,1): 1\cdot\tfrac{1}{2} + 1\cdot\tfrac{1}{2} = 1.
  • Entrada (2,2): 1\cdot\tfrac{1}{2} + 1\cdot(-\tfrac{1}{2}) = 0.
Portanto
P D P^{-1} = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = A,
como queríamos. Assim a fatoração está correta.
Comentário final rápido (útil para prova): se preferir uma matriz P ortogonal (o que simplifica porque P^{-1}=P^{T}), pode normalizar os autovetores dividindo-os por \sqrt{2}:
Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}, \quad\text{então}\quad A = Q D Q^{T}.ã]

Resposta

A = P D P^{-1},\quad P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},\quad P^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

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