Considere as seguintes matrizes: e B=[l1 2 3] onde k in R.
Determine:
a) (1.0 ponto) Os valores de k para os quais o sistema A X=B admite infinitas soluçōes. Apresente uma solução.
b) (1.0 ponto) A inversa da matriz A para k=raiz2.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
onde
e pede em (a) os valores de para que haja infinitas soluções, e em (b) quando . Vamos usar determinantes para descobrir quando (caso de infinitas ou nenhuma solução) e depois checar consistência e obter a solução geral; em (b) vamos calcular a inversa pelo adjunto, já que .
Passo 2
Calculemos det(A). Expandindo pela primeira linha,
Portanto det(A)=0 exatamente quando k^2=6, ou seja
k=pmraiz6
Passo 3
Em
e a segunda linha é o dobro da primeira, de modo que . No sistema aumentado
também a segunda linha é (ª linha), então e o sistema é consistente com infinitas soluções. Para obter a solução geral, tomemos como parâmetro, e usemos as equações da ª e ª linhas:
Da primeira vem . Logo a família de soluções é
]
Passo 4
Para (b), com temos e
cujo determinante é
logo é invertível. Vamos usar a fórmula . Calculando cofatores e transpondo, encontra-se
Portanto
Resposta
a) O sistema tem infinitas soluções exatamente para