Considere as seguintes matrizes: A=[ccc2 & 1 & 3 4 & 2 & k^2 2 & 5 & 3], X=[lx y z] e B=[l1 2 3] onde k in R.
Determine:
a) (1.0 ponto) Os valores de k para os quais o sistema A X=B admite infinitas soluçōes. Apresente uma solução.
b) (1.0 ponto) A inversa da matriz A para k=raiz2.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
onde
e pede em (a) os valores de para que haja infinitas soluções, e em (b) quando . Vamos usar determinantes para descobrir quando (caso de infinitas ou nenhuma solução) e depois checar consistência e obter a solução geral; em (b) vamos calcular a inversa pelo adjunto, já que .

Passo 2

Calculemos det(A). Expandindo pela primeira linha,
det(A) =2det2 & k^25 & 3 -1det4 & k^22 & 3 +3det4 & 22 & 5
Logo,
det(A) =2(2cdot3 -5k^2);-;(4cdot3-2k^2);+;3(4cdot5-2cdot2) =12-10k^2-12+2k^2+48 =48-8k^2 =8l(6-k^2r)
Portanto det(A)=0 exatamente quando k^2=6, ou seja
k=pmraiz6

Passo 3

Em
e a segunda linha é o dobro da primeira, de modo que . No sistema aumentado
também a segunda linha é ( ª linha), então e o sistema é consistente com infinitas soluções. Para obter a solução geral, tomemos como parâmetro, e usemos as equações da ª e ª linhas:
Da primeira vem . Logo a família de soluções é
]

Passo 4

Para (b), com temos e
cujo determinante é
logo é invertível. Vamos usar a fórmula . Calculando cofatores e transpondo, encontra-se
Portanto

Resposta

a) O sistema tem infinitas soluções exatamente para
k=pmraiz6,
com solução geral
X=l(,tfrac1-6t4,;tfrac12,;tr)^ T, tin R
b) Para k=raiz2,
A^-1 =132 -4&12&-4 -8&0&8 16&-8&0

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