Determine uma:
(1.0 ponto) Base para o subespaço W de R^3 gerado pelos vetores:
v1=(-1,1,2), v2=(0,-1,-1) e v3=(-3,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma base para o subespaço W de R^3 que é gerado pelos vetores v1=(-1,1,2) , v2=(0,-1,-1) e v3=(-3,-1,2) . Isso significa que queremos identificar um conjunto de vetores que sejam linharmente independentes e que consigam gerar todo o subespaço W . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais, bases e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma linha:
-1 & 1 & 2 0 & -1 & -1 -3 & -1 & 2
Esse passo é útil porque nos ajuda a visualizar e manipular os vetores de forma mais fácil para verificar a independência linear.

Passo 3

Agora, vamos transformar essa matriz em uma forma mais simples usando operações elementares de linha. O objetivo é obter uma matriz com linhas que sejam mais fáceis de analisar. Vamos começar:
  1. Deixe a primeira linha como está.
  2. A segunda linha já começa com 0, então vamos mantê-la.
  3. Para a terceira linha, vamos somar 3 vezes a primeira linha à terceira para eliminar o -3:
-1 & 1 & 2 0 & -1 & -1 0 & 2 & 8

Passo 4

Em seguida, vamos simplificar ainda mais. Vamos multiplicar a segunda linha por -1 para facilitar os cálculos:
-1 & 1 & 2 0 & 1 & 1 0 & 2 & 8
Agora, vamos eliminar o 2 da terceira linha usando a segunda linha. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira:
-1 & 1 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 6

Passo 5

Observamos que todas as três linhas têm pivôs (os primeiros números não nulos em cada linha são diferentes de zero). Isso significa que os três vetores são linearmente independentes, ou seja, nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 6

Como os três vetores são linearmente independentes e estão em R^3 , eles formam uma base para o subespaço W . Portanto, uma base para W é:
, (-1,1,2), (0,-1,-1), (-3,-1,2) ,

Resposta

Uma base para o subespaço W é formada pelos vetores (-1,1,2) , (0,-1,-1) e (-3,-1,2) .

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