Sistemas para treinar escalonamento. Em cada item encontre a solução geral (se tiver). A partir da solução geral encontre uma solução particular e teste sua solução no sistema (lembre-se: se sua resposta particular não funcionar é porque sua solução está errada; se funcionar, talvez esteja certa mas não temos garantias. Para garantir, só substituindo a geral e verificando).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! Temos um sistema de 4 equações com 5 incógnitas: x, y, z, t e r. O objetivo é encontrar a solução geral desse sistema, ou seja, uma expressão que mostre todas as possíveis soluções. Depois disso, vamos achar uma solução particular e testar se ela realmente funciona no sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente método de eliminação para sistemas lineares.
Vamos resolver as Equações 1.1 e 3.1 para eliminar uma variável. Por exemplo, podemos tentar eliminar y.
Multiplicando a Equação 1.1 por 3:
3y -6t +3r = -32 (Equação 1.2) çã
Subtraindo a Equação 1.2 da Equação 3.1:
(3y -8t +4r) - (3y -6t +3r) = 0 - (-32)
0y -2t +r = 32
Então:
-2t + r = 32 (Equação 3.2) çã
Passo 8
Agora, temos:
y -2t + r = -12 (Equação 1.1) -2t + r = 32 (Equação 3.2) 12y -13z -32t +16r =0 (Equação 4.1) çãçãçã
Vamos resolver as Equações 1.1 e 3.2 juntas. Subtraindo a Equação 3.2 da Equação 1.1:
(y -2t + r) - (-2t + r) = -12 - 32
y = -2
Agora que encontramos y = -2, podemos substituir esse valor na Equação 1.1 para achar uma relação entre t e r:
-2 -2t + r = -12
-2t + r = 32 (confirma a Equação 3.2) çã
Passo 9
Agora, vamos usar y = -2 na Equação 4.1:
12(-2) -13z -32t +16r =0
-24 -13z -32t +16r =0
-13z -32t +16r =24
Podemos simplificar essa equação dividindo por -1:
13z +32t -16r = -24 (Equação 4.2) çã
Passo 10
Até agora, temos as seguintes relações:
y = -2 -2t + r = 32 (Equação 3.2) 13z +32t -16r = -24 (Equação 4.2) çãçã
Como temos mais variáveis do que equações, vamos escolher uma variável livre. Vamos escolher t como nosso parâmetro livre, ou seja, t = lambda, onde lambda pode ser qualquer número real.
Então, t = lambda.
Passo 11
A partir de t = lambda, usamos a Equação 3.2 para encontrar r:
-2lambda + r = 32
r = 32 + 2lambda
Agora, substituímos t = lambda e r = 32 + 2lambda na Equação 4.2 para achar z:
13z +32lambda -16(32 + 2lambda) = -24
13z +32lambda -24 -32lambda = -24
13z -24 = -24
13z = 0
z = 0
Passo 12
Agora que temos z = 0, y = -2, t = lambda, e r = 32 + 2lambda, vamos encontrar x usando a Equação 2.1:
x = 3 + 2(-2) -3(0) -4lambda -(32 + 2lambda)
x = 3 -4 -0 -4lambda -32 -2lambda
x = -1 -6lambda -32
x = -52 -6lambda
Passo 13
Então, juntando tudo, a solução geral do sistema é:
x = -52 -6lambda y = -2 z = 0 t = lambda r = 32 + 2lambda
Onde lambda é um número real qualquer.
Passo 14
Agora, vamos encontrar uma solução particular. Para isso, escolhemos um valor específico para lambda. Vamos escolher lambda = 0 para simplificar.
Quando lambda = 0:
x = -52 -6(0) = -52 y = -2 z = 0 t = 0 r = 32 + 2(0) = 32
Então, a solução particular é:
x = -52, y = -2, z = 0, t = 0, r = 32
Passo 15
Vamos testar essa solução particular no sistema original para garantir que está correta.
Todas as equações são satisfeitas, então nossa solução particular está correta!
Resposta
A solução geral do sistema é:
x = -52 -6lambda y = -2 z = 0 t = lambda r = 32 + 2lambda
Onde lambda é um número real qualquer. Uma solução particular é x = -52, y = -2, z = 0, t = 0, r = 32, e essa solução satisfaz todas as equações do sistema.