Sistemas para treinar escalonamento. Em cada item encontre a solução geral (se tiver). A partir da solução geral encontre uma solução particular e teste sua solução no sistema (lembre-se: se sua resposta particular não funcionar é porque sua solução está errada; se funcionar, talvez esteja certa mas não temos garantias. Para garantir, só substituindo a geral e verificando).
cl2 x+4 y+6 z-8 t+10 r & = 2 x-2 y+3 z+4 t+r & = 3 3 x+9 z-4 t+11 r & = 9 6 x+5 z-8 t+22 r & =18

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! Temos um sistema de 4 equações com 5 incógnitas: x, y, z, t e r. O objetivo é encontrar a solução geral desse sistema, ou seja, uma expressão que mostre todas as possíveis soluções. Depois disso, vamos achar uma solução particular e testar se ela realmente funciona no sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente método de eliminação para sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações:
2x + 4y + 6z - 8t + 10r = 2 (Equação 1) x - 2y + 3z + 4t + r = 3 (Equação 2) 3x + 9z - 4t + 11r = 9 (Equação 3) 6x + 5z - 8t + 22r = 18 (Equação 4) çãçãçãçã
Como temos mais variáveis do que equações, esperamos que a solução geral dependa de pelo menos uma variável livre.

Passo 3

Vamos começar simplificando as equações para facilitar. Primeiramente, da Equação 2, podemos isolar x:
x = 3 + 2y - 3z - 4t - r (Equação 2.1) çã
Agora, vamos substituir essa expressão de x nas Equações 1, 3 e 4 para reduzir o número de variáveis.

Passo 4

Substituindo x da Equação 2.1 na Equação 1:
2(3 + 2y - 3z - 4t - r) + 4y + 6z - 8t + 10r = 2
Vamos expandir e simplificar:
6 + 4y - 6z - 8t - 2r + 4y + 6z - 8t + 10r = 2
Somando termos semelhantes:
6 + (4y + 4y) + (-6z + 6z) + (-8t -8t) + (-2r + 10r) = 2
6 + 8y + 0z -16t + 8r = 2
Subtraindo 6 de ambos os lados:
8y -16t +8r = -4
Dividindo todos os termos por 8 para simplificar:
y -2t + r = -12 (Equação 1.1) çã

Passo 5

Agora, vamos substituir x da Equação 2.1 na Equação 3:
3(3 + 2y - 3z - 4t - r) + 9z -4t +11r = 9
Expandindo e simplificando:
9 + 6y -9z -12t -3r +9z -4t +11r = 9
Somando termos semelhantes:
9 + 6y + 0z -16t +8r = 9
Subtraindo 9 de ambos os lados:
6y -16t +8r = 0
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
3y -8t +4r = 0 (Equação 3.1) çã

Passo 6

Agora, vamos substituir x da Equação 2.1 na Equação 4:
6(3 + 2y - 3z - 4t - r) +5z -8t +22r =18
Expandindo e simplificando:
18 + 12y -18z -24t -6r +5z -8t +22r =18
Somando termos semelhantes:
18 + 12y -13z -32t +16r =18
Subtraindo 18 de ambos os lados:
12y -13z -32t +16r =0 (Equação 4.1) çã

Passo 7

Agora, temos um sistema reduzido com as Equações 1.1, 3.1 e 4.1:
y -2t + r = -12 (Equação 1.1) 3y -8t +4r = 0 (Equação 3.1) 12y -13z -32t +16r =0 (Equação 4.1) çãçãçã
Vamos resolver as Equações 1.1 e 3.1 para eliminar uma variável. Por exemplo, podemos tentar eliminar y.
Multiplicando a Equação 1.1 por 3:
3y -6t +3r = -32 (Equação 1.2) çã
Subtraindo a Equação 1.2 da Equação 3.1:
(3y -8t +4r) - (3y -6t +3r) = 0 - (-32)
0y -2t +r = 32
Então:
-2t + r = 32 (Equação 3.2) çã

Passo 8

Agora, temos:
y -2t + r = -12 (Equação 1.1) -2t + r = 32 (Equação 3.2) 12y -13z -32t +16r =0 (Equação 4.1) çãçãçã
Vamos resolver as Equações 1.1 e 3.2 juntas. Subtraindo a Equação 3.2 da Equação 1.1:
(y -2t + r) - (-2t + r) = -12 - 32
y = -2
Agora que encontramos y = -2, podemos substituir esse valor na Equação 1.1 para achar uma relação entre t e r:
-2 -2t + r = -12
-2t + r = 32 (confirma a Equação 3.2) çã

Passo 9

Agora, vamos usar y = -2 na Equação 4.1:
12(-2) -13z -32t +16r =0
-24 -13z -32t +16r =0
-13z -32t +16r =24
Podemos simplificar essa equação dividindo por -1:
13z +32t -16r = -24 (Equação 4.2) çã

Passo 10

Até agora, temos as seguintes relações:
y = -2 -2t + r = 32 (Equação 3.2) 13z +32t -16r = -24 (Equação 4.2) çãçã
Como temos mais variáveis do que equações, vamos escolher uma variável livre. Vamos escolher t como nosso parâmetro livre, ou seja, t = lambda, onde lambda pode ser qualquer número real.
Então, t = lambda.

Passo 11

A partir de t = lambda, usamos a Equação 3.2 para encontrar r:
-2lambda + r = 32
r = 32 + 2lambda
Agora, substituímos t = lambda e r = 32 + 2lambda na Equação 4.2 para achar z:
13z +32lambda -16(32 + 2lambda) = -24
13z +32lambda -24 -32lambda = -24
13z -24 = -24
13z = 0
z = 0

Passo 12

Agora que temos z = 0, y = -2, t = lambda, e r = 32 + 2lambda, vamos encontrar x usando a Equação 2.1:
x = 3 + 2(-2) -3(0) -4lambda -(32 + 2lambda)
x = 3 -4 -0 -4lambda -32 -2lambda
x = -1 -6lambda -32
x = -52 -6lambda

Passo 13

Então, juntando tudo, a solução geral do sistema é:
x = -52 -6lambda y = -2 z = 0 t = lambda r = 32 + 2lambda
Onde lambda é um número real qualquer.

Passo 14

Agora, vamos encontrar uma solução particular. Para isso, escolhemos um valor específico para lambda. Vamos escolher lambda = 0 para simplificar.
Quando lambda = 0:
x = -52 -6(0) = -52 y = -2 z = 0 t = 0 r = 32 + 2(0) = 32
Então, a solução particular é:
x = -52, y = -2, z = 0, t = 0, r = 32

Passo 15

Vamos testar essa solução particular no sistema original para garantir que está correta.
Equação 1: 2x +4y +6z -8t +10r = 2
Substituindo:
2(-52) +4(-2) +6(0) -8(0) +10(32) = -5 -8 +0 +0 +15 = 2 checkmark
Equação 2: x -2y +3z +4t +r =3
Substituindo:
-52 -2(-2) +3(0) +4(0) +32 = -52 +4 +0 +0 +32 = 3 checkmark
Equação 3: 3x +9z -4t +11r =9
Substituindo:
3(-52) +9(0) -4(0) +11(32) = -152 +0 +0 +332 = 182 =9 checkmark
Equação 4: 6x +5z -8t +22r =18
Substituindo:
6(-52) +5(0) -8(0) +22(32) = -15 +0 +0 +33 =18 checkmark
Todas as equações são satisfeitas, então nossa solução particular está correta!

Resposta

A solução geral do sistema é:
x = -52 -6lambda y = -2 z = 0 t = lambda r = 32 + 2lambda
Onde lambda é um número real qualquer. Uma solução particular é x = -52, y = -2, z = 0, t = 0, r = 32, e essa solução satisfaz todas as equações do sistema.

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