Sistemas para treinar escalonamento. Em cada item encontre a solução geral (se tiver). A partir da solução geral encontre uma solução particular e teste sua solução no sistema (lembre-se: se sua resposta particular não funcionar é porque sua solução está errada; se funcionar, talvez esteja certa mas não temos garantias. Para garantir, só substituindo a geral e verificando).
clx+y+z-t+r & =0 2 x+2 y+2 z+t+4 r & =0 3 x+3 y+3 z+3 t+r & =0 x+y+z+5 r & =0

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema homogêneo com incógnitas x,y,z,t,r dado por
x+y+z-t+r=0, 2x+2y+2z+t+4r=0, 3x+3y+3z+3t+r=0, x+y+z+5r=0
Devemos encontrar a solução geral via eliminação de Gauss e depois extrair uma solução particular.

Passo 2

Observamos que as três primeiras incógnitas aparecem sempre na soma x+y+z. Definimos
S = x+y+z
Reescrevendo as equações em termos de S,t,r obtemos
S - t + r = 0,
2S + t + 4r = 0,
3S + 3t + r = 0,
S + 5r = 0

Passo 3

Da última equação segue
S + 5r = 0 implies S = -5r
Substituindo em S - t + r = 0 resulta
-5r - t + r = 0 implies t = -4r

Passo 4

Agora, ao substituir S = -5r e t = -4r nas equações intermediárias, por exemplo na segunda:
2(-5r) + (-4r) + 4r = -10r - 4r + 4r = -10r = 0 implies r = 0
A terceira fornece o mesmo resultado, confirmando r=0.

Passo 5

Como r=0 e t=-4r=0, temos também S = -5r = 0. Logo
x+y+z = 0, t = 0, r = 0
Isso deixa duas variáveis livres entre x,y,z. Tomando y e z como parâmetros, segue
x = -y - z, t = 0, r = 0

Passo 6

A solução geral pode ser escrita em forma paramétrica:
(x,y,z,t,r) ;=;( -y - z,; y,; z,; 0,; 0 ) ;=;y,(-1,1,0,0,0);+;z,(-1,0,1,0,0), y,zinR

Passo 7

Escolhendo uma solução particular para testar, tomemos y=1 e z=0, então
(x,y,z,t,r) = (-1,1,0,0,0)
Substituindo no sistema original verifica-se que todas as equações são satisfeitas, confirmando a correção.

Resposta

Solução geral:
(x,y,z,t,r) = y,(-1,1,0,0,0) + z,(-1,0,1,0,0), y,zinR
Uma solução particular:
(x,y,z,t,r) = (-1,1,0,0,0)

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