Seja
. Mostre que as matrizes
e
possuem os mesmos autovalores.
(Sugestão: analise o polinômio característico
usando as propriedades de transposição de matrizes.)
(Sugestão: analise o polinômio característico
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
, as matrizes
e
têm o mesmo conjunto de autovalores. O conteúdo principal é o polinômio característico e vamos usar as propriedades
-
para qualquer matriz quadrada , -
.
Passo 2
Recordando a definição, o polinômio característico de
é
e os autovalores de
são exatamente as raízes de
.
Passo 3
Agora escrevemos o polinômio característico de
:
Como
é diagonal, temos
, e portanto
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Passo 4
Como
, esses dois polinômios têm as mesmas raízes, contando multiplicidades. Concluímos que
e
possuem exatamente o mesmo conjunto de autovalores.
Resposta
As matrizes
e
têm os mesmos autovalores, pois seus polinômios característicos coincidem: