Seja A in Mn(R). Mostre que as matrizes A e A^t possuem os mesmos autovalores.
(Sugestão: analise o polinômio característico det(A^t-lambda I) usando as propriedades de transposição de matrizes.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para Ain Mn(R), as matrizes A e A^t têm o mesmo conjunto de autovalores. O conteúdo principal é o polinômio característico e vamos usar as propriedades
  1. det(X^t)=det(X) para qualquer matriz quadrada X,
  2. l(A - lambda Ir)^t=A^t-lambda I.

Passo 2

Recordando a definição, o polinômio característico de A é
pA(lambda)=detl(A-lambda Ir),
e os autovalores de A são exatamente as raízes de pA(lambda).

Passo 3

Agora escrevemos o polinômio característico de A^t:
pA^t(lambda)=detl(A^t-lambda Ir)
Como lambda I é diagonal, temos lambda I = (lambda I)^t, e portanto
A^t-lambda I ;=;l(A-lambda Ir)^t
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pA^t(lambda) =detl(A^t-lambda Ir) =detl((A-lambda I)^tr) =detl(A-lambda Ir) =pA(lambda)

Passo 4

Como pA^t(lambda)=pA(lambda), esses dois polinômios têm as mesmas raízes, contando multiplicidades. Concluímos que A e A^t possuem exatamente o mesmo conjunto de autovalores.

Resposta

As matrizes A e A^t têm os mesmos autovalores, pois seus polinômios característicos coincidem:
detl(A^t-lambda Ir) =detl(A-lambda Ir)

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