Determine os autovalores e os autovetores de um operador linear : cuja representação matricial em alguma base de seja:
a)
b) B=(cc-1 & -1 -3 & 1)
c) C=(ll2 & 1 0 & 1)
d) D=(cc-1 & -3 -1 & 1)
Note que C=A^t e D=B^t. Percebeu alguma relação entre os autovalores encontrados?
Passo 1
O enunciado pede os autovalores lambda e os autovetores não nulos v de cada uma das matrizes
A,;B,;C,;D
em R^2. O procedimento geral é
escrever a equação característica
det(M - lambda I)=0,
resolver para obter os autovalores lambda,
substituir cada lambda em M-lambda I e achar o espaço nulo, que fornece os autovetores.
daí -3x - y=0Rightarrow y=-3x e podemos escolher v1=(1,-3).
Para lambda2=-2,
B+2I=1&-1-3&3,
daí x-y=0Rightarrow y=x e podemos escolher v2=(1,1).
Passo 4
As matrizes C e D são as transpostas de A e B, respectivamente, mas vamos achar seus autovetores para completar.
C=A^t=2&10&1. Tem os mesmos autovalores de A, ,2 e 1.
Para lambda=2: C-2I=0&10&-1 Rightarrow y=0, escolhemos v=(1,0).
Para lambda=1: C-I=1&10&0 Rightarrow x+y=0Rightarrow y=-x, escolhemos v=(1,-1).
D=B^t=-1&-3-1&1. Tem os mesmos autovalores de B, 2 e -2.
Para lambda=2: D-2I=-3&-3-1&-1 Rightarrow x+y=0Rightarrow y=-x, escolhemos v=(1,-1).
Para lambda=-2: D+2I=1&-3-1&3 Rightarrow x-3y=0Rightarrow x=3y, escolhemos v=(3,1).
Passo 5
Observação: em todas as quatro matrizes M e M^t aparecem exatamente os mesmos autovalores, pois det(M-lambda I)=det(M^t-lambda I). Assim, transpor não altera os autovalores.
Resposta
(a) Para A: lambda=2, v=(1,1); lambda=1, v=(0,1).
(b) Para B: lambda=2, v=(1,-3); lambda=-2, v=(1,1).
(c) Para C=A^t: lambda=2, v=(1,0); lambda=1, v=(1,-1).
(d) Para D=B^t: lambda=2, v=(1,-1); lambda=-2, v=(3,1).