Determine os autovalores e os autovetores de um operador linear T : R^2 R^2 cuja representação matricial em alguma base de R^2 seja:
a) A=(ll2 & 0 1 & 1)
b) B=(cc-1 & -1 -3 & 1)
c) C=(ll2 & 1 0 & 1)
d) D=(cc-1 & -3 -1 & 1)
Note que C=A^t e D=B^t. Percebeu alguma relação entre os autovalores encontrados?

Passo 1

O enunciado pede os autovalores lambda e os autovetores não nulos v de cada uma das matrizes
A,;B,;C,;D
em R^2. O procedimento geral é
  1. escrever a equação característica
det(M - lambda I)=0,
  1. resolver para obter os autovalores lambda,
  2. substituir cada lambda em M-lambda I e achar o espaço nulo, que fornece os autovetores.

Passo 2

Matriz A=2&01&1.
A característica é
detl(A-lambda Ir) =det2-lambda&01&1-lambda =(2-lambda)(1-lambda)=0,
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lambda1=2, lambda2=1
Para lambda1=2,
A-2I=0&01&-1,
daí a equação x-y=0 e um autovetor é v1=(1,1).
Para lambda2=1,
A-I=1&01&0,
daí x=0 e um autovetor é v2=(0,1).

Passo 3

Matriz B=-1&-1-3&1.
A característica é
detl(B-lambda Ir) =det-1-lambda&-1-3&1-lambda =(-1-lambda)(1-lambda)-3 =lambda^2-4=0,
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lambda1=2, lambda2=-2
Para lambda1=2,
B-2I=-3&-1-3&-1,
daí -3x - y=0Rightarrow y=-3x e podemos escolher v1=(1,-3).
Para lambda2=-2,
B+2I=1&-1-3&3,
daí x-y=0Rightarrow y=x e podemos escolher v2=(1,1).

Passo 4

As matrizes C e D são as transpostas de A e B, respectivamente, mas vamos achar seus autovetores para completar.
  1. C=A^t=2&10&1. Tem os mesmos autovalores de A, ,2 e 1.
    • Para lambda=2: C-2I=0&10&-1 Rightarrow y=0, escolhemos v=(1,0).
    • Para lambda=1: C-I=1&10&0 Rightarrow x+y=0Rightarrow y=-x, escolhemos v=(1,-1).
  2. D=B^t=-1&-3-1&1. Tem os mesmos autovalores de B, 2 e -2.
    • Para lambda=2: D-2I=-3&-3-1&-1 Rightarrow x+y=0Rightarrow y=-x, escolhemos v=(1,-1).
    • Para lambda=-2: D+2I=1&-3-1&3 Rightarrow x-3y=0Rightarrow x=3y, escolhemos v=(3,1).

Passo 5

Observação: em todas as quatro matrizes M e M^t aparecem exatamente os mesmos autovalores, pois det(M-lambda I)=det(M^t-lambda I). Assim, transpor não altera os autovalores.

Resposta

(a) Para A:
lambda=2, v=(1,1);
lambda=1, v=(0,1).
(b) Para B:
lambda=2, v=(1,-3);
lambda=-2, v=(1,1).
(c) Para C=A^t:
lambda=2, v=(1,0);
lambda=1, v=(1,-1).
(d) Para D=B^t:
lambda=2, v=(1,-1);
lambda=-2, v=(3,1).

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