(a) Usando operações elementares, calcule o determinante das matrizes acima.
(b) Determine quais das matrizes acima são invertíveis e, neste caso, encontre sua matriz inversa.
Passo 1
O enunciado dá seis matrizes de ordem e de ordem . Na parte (a) precisamos calcular , , , , e , preferencialmente usando operações elementares sobre linhas. Na parte (b) vamos declarar quais são invertíveis (isto é, cujos determinantes são não nulos) e, para cada uma delas, encontrar a inversa por eliminação de Gauss (ou, no caso de ordem , pelo adjunto).
Passo 2
Cálculo de . .
– Troque L1rightarrow L2 (muda sinal do determinante): 1&2&40&2&31&0&1.
– Faça L3 L3 - L1: 1&2&40&2&30&-2&-3.
Agora expanda pela 1ª coluna: só o pivô 1 contribui, mas o menor associado é det!2&3-2&-3=2(-3)-3(-2)=0.
Como houve uma troca, det(A) = -0 = 0.
Passo 3
Cálculo de det(B). B=1&1&10&2&11&1&4.
Use desenvolvimento pela 1ª linha:
Cálculo de det(C). C=1&0&00&1&01&0&1.
Expandindo pela 1ª linha, det(C)=1cdotdet!1&00&1=1.
Passo 5
Cálculo de det(D). D é 4times 4. Ao fazer eliminação de Gauss usando apenas adição de múltiplos de linhas (sem trocar linhas ou escalar), chegamos a uma linha zero, e portanto
det(D)=0
Passo 6
Cálculo de det(E). E=0&4&0&21&-1&0&30&2&1&20&3&3&0.
Expanda pela 1ª coluna (só a 2ª linha é não nula):
Calculando det(M)=4,(1cdot0-2cdot3)-0+;2,(2cdot3-1cdot3) =4(-6)+2(3)=-24+6=-18.
Logo det(E)=-(-18)=18.
Passo 7
Cálculo de det(F). F=1&2&1&0-1&4&3&20&3&2&12&1&0&-1.
Fazendo eliminação por linhas (sem trocar nem escalar) sobra uma linha nula, então
det(F)=0
Passo 8
Conclusão sobre invertibilidade.
Uma matriz quadrada é invertível se, e só se, seu determinante for não nulo. Logo as invertíveis são
B(det=6), C(det=1), E(det=18)
Passo 9
Cálculo de B^-1 pelo método do adjunto (já que é 3times 3).
Encontramos a matriz dos cofatores 7&1&-2-3&3&0-1&-1&2,
a adjunta (transposta) adj(B)=7&-3&-11&3&-1-2&0&2,
e portanto
Cálculo de C^-1.
Observe que C=I + E31 (onde só o elemento (3,1) vale 1 além da identidade). Então
C^-1=I - E31 =1&0&00&1&0-1&0&1,
pois (I-E31)(I+E31)=I.
Passo 11
Cálculo de E^-1 por eliminação de Gauss em [,Emid I4].
Após trocar linhas e eliminar colunas, chega-se ao sistema escalonado reduzido e a parte direita fica