Considere as seguintes matrizes:
(a) Usando operações elementares, calcule o determinante das matrizes acima.
(b) Determine quais das matrizes acima são invertíveis e, neste caso, encontre sua matriz inversa.

Passo 1

O enunciado dá seis matrizes A,B,C de ordem 3 e D,E,F de ordem 4. Na parte (a) precisamos calcular det(A), det(B), det(C), det(D), det(E) e det(F), preferencialmente usando operações elementares sobre linhas. Na parte (b) vamos declarar quais são invertíveis (isto é, cujos determinantes são não nulos) e, para cada uma delas, encontrar a inversa por eliminação de Gauss (ou, no caso de ordem 3, pelo adjunto).

Passo 2

Cálculo de det(A).
A=0&2&31&2&41&0&1.
– Troque L1rightarrow L2 (muda sinal do determinante):
1&2&40&2&31&0&1.
– Faça L3 L3 - L1:
1&2&40&2&30&-2&-3.
Agora expanda pela 1ª coluna: só o pivô 1 contribui, mas o menor associado é
det!2&3-2&-3=2(-3)-3(-2)=0.
Como houve uma troca, det(A) = -0 = 0.

Passo 3

Cálculo de det(B).
B=1&1&10&2&11&1&4.
Use desenvolvimento pela 1ª linha:
det(B) =1cdotdet2&11&4 -1cdotdet0&11&4 +1cdotdet0&21&1
=1,(2cdot4-1cdot1)-1,(0cdot4-1cdot1)+1,(0cdot1-2cdot1) = (8-1)-(-1)+(-2)=7+1-2=6

Passo 4

Cálculo de det(C).
C=1&0&00&1&01&0&1.
Expandindo pela 1ª linha,
det(C)=1cdotdet!1&00&1=1.

Passo 5

Cálculo de det(D).
D é 4times 4. Ao fazer eliminação de Gauss usando apenas adição de múltiplos de linhas (sem trocar linhas ou escalar), chegamos a uma linha zero, e portanto
det(D)=0

Passo 6

Cálculo de det(E).
E=0&4&0&21&-1&0&30&2&1&20&3&3&0.
Expanda pela 1ª coluna (só a 2ª linha é não nula):
det(E) =(-1)^2+1,1;det4&0&22&1&23&3&0 =-1cdotdet(M)
Calculando
det(M)=4,(1cdot0-2cdot3)-0+;2,(2cdot3-1cdot3) =4(-6)+2(3)=-24+6=-18.
Logo det(E)=-(-18)=18.

Passo 7

Cálculo de det(F).
F=1&2&1&0-1&4&3&20&3&2&12&1&0&-1.
Fazendo eliminação por linhas (sem trocar nem escalar) sobra uma linha nula, então
det(F)=0

Passo 8

Conclusão sobre invertibilidade.
Uma matriz quadrada é invertível se, e só se, seu determinante for não nulo. Logo as invertíveis são
B(det=6), C(det=1), E(det=18)

Passo 9

Cálculo de B^-1 pelo método do adjunto (já que é 3times 3).
Encontramos a matriz dos cofatores
7&1&-2-3&3&0-1&-1&2,
a adjunta (transposta)
adj(B)=7&-3&-11&3&-1-2&0&2,
e portanto
B^-1=1det(B),adj(B) =16 7&-3&-11&3&-1-2&0&2 = 76&-12&-16[6pt] 16&12&-16[6pt] -13&0&13
]

Passo 10

Cálculo de C^-1.
Observe que C=I + E31 (onde só o elemento (3,1) vale 1 além da identidade). Então
C^-1=I - E31 =1&0&00&1&0-1&0&1,
pois (I-E31)(I+E31)=I.

Passo 11

Cálculo de E^-1 por eliminação de Gauss em [,Emid I4].
Após trocar linhas e eliminar colunas, chega-se ao sistema escalonado reduzido e a parte direita fica
E^-1= 56 &1 &-73 &79[3pt] 13 &0 &-13 &19[3pt] -13&0 &13 &tfrac29[3pt] -16&0 &23 &-tfrac29
]

Resposta

(a)
det(A)=0,;det(B)=6,;det(C)=1,;det(D)=0,;det(E)=18,;det(F)=0
(b) As invertíveis são B,C,E.
B^-1 = 76&-12&-16[3pt] 16&12&-16[3pt] -13&0&13 , C^-1 =1&0&00&1&0-1&0&1, E^-1 = 56 &1 &-73 &79[3pt] 13 &0 &-13 &19[3pt] -13&0 &13 &tfrac29[3pt] -16&0 &23 &-tfrac29
]

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