Considere as seguintes matrizes
c A=[rrr -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 ], B=[rr 2 & -1 2 & 0 0 & 3 ] C=[rrr -2 & 1 & -1 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 ], D=[rrr d1 & 0 & 0 0 & d2 & 0 0 & 0 & d3 ] E1=[l 1 0 0 ], E2=[l 0 1 0 ], E3=[l 0 0 1 ]
Verifique que:
A B é diferente de B A.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a multiplicação de matrizes não é comutativa neste caso, ou seja, que
A B neq B A
Onde
AinR^2times3, BinR^3times2
O conteúdo da matéria é multiplicação de matrizes e vamos precisar conhecer como combinar linhas de uma matriz com colunas da outra.

Passo 2

Antes de calcular, observamos as dimensões:
A é 2times3, B é 3times2.
– Logo A B será 2times2, enquanto B A será 3times3.
Se já houvesse igualdade em valores, ainda assim as dimensões diferentes provam que A Bneq B A. Mas vamos de todo modo calcular cada produto.

Passo 3

Calculando
AB,
usamos a defini\c{c}~ao (AB)ij=sumk=1^3 Aik Bkj.
A = -3 & 2 & 1 [6pt] 1 & 2 & -1, B = 2 & -1 [3pt] 2 & 0 [3pt] 0 & 3
Ent~ao
AB = (-3) cdot 2 + 2 cdot 2 + 1 cdot 0 & (-3) cdot (-1) + 2 cdot 0 + 1 cdot 3 [6pt] 1 cdot 2 + 2 cdot 2 + (-1) cdot 0 & 1 cdot (-1) + 2 cdot 0 + (-1) cdot 3 = -2 & 6 [3pt] 6 & -4 ]

Passo 4

Agora calculamos
BA,
usando (BA)ij=sumk=1^2 Bik Akj.
BA = 2 cdot (-3) + (-1) cdot 1 & 2 cdot 2 + (-1) cdot 2 & 2 cdot 1 + (-1) cdot (-1) [6pt] 2 cdot (-3) + 0 cdot 1 & 2 cdot 2 + 0 cdot 2 & 2 cdot 1 + 0 cdot (-1) [6pt] 0 cdot (-3) + 3 cdot 1 & 0 cdot 2 + 3 cdot 2 & 0 cdot 1 + 3 cdot (-1) = -7 & 2 & 3 [3pt] -6 & 4 & 2 [3pt] 3 & 6 & -3 ]

Passo 5

Comparando as duas matrizes:
A B = -2 & 66 & -4(dimensão (2times2)), ã
B A = -7 & 2 & 3-6 & 4 & 23 & 6 & -3(dimensão (3times3)) ã
Elas são diferentes tanto em valores quanto em dimensões.

Resposta

Fica verificado que A B neq B A.

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