Seja . Mostre que existe tal que e determine um tal que , onde .
Passo 1
O enunciado define a aplicação
e pede para mostrarmos que existe tal que (isto é, um ponto fixo) e, partindo de e definindo , determinar um tal que
O conteúdo principal é o Teorema do Ponto Fixo de Banach (método das iterações contráteis) e o uso do erro estimado para mapeamentos contráteis.
Passo 2
Mostramos que phi é contratante em R. Calculamos a derivada
phi'(x)=-tfrac13,sinl(x/3r)
e, como |sin|<=1, segue
l|phi'(x)r|<=tfrac13<1 forall xinR
Logo phi é Lipschitz com constante L=1/3.
Passo 3
Por Banach, phi tem um único ponto fixo alphainR e a sequência xn=phi(xn-1) converge para alpha qualquer que seja x0. Em particular, com x0=0, temos convergência para alpha.