Seja phi(x)=cos (x / 3), x in R. Mostre que existe alpha in R tal que phi(alpha)=alpha e determine um m in N tal que |xm-alpha| <= 10^-4, onde x0=0, xn=phi(xn-1), n=1,2, ldots.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
phicolon RtoR, phi(x)=cosl(x/3r),
e pede para mostrarmos que existe alphainR tal que phi(alpha)=alpha (isto é, um ponto fixo) e, partindo de x0=0 e definindo xn=phi(xn-1), determinar um minN tal que
l|xm-alphar|<=10^-4
O conteúdo principal é o Teorema do Ponto Fixo de Banach (método das iterações contráteis) e o uso do erro estimado para mapeamentos contráteis.

Passo 2

Mostramos que phi é contratante em R. Calculamos a derivada
phi'(x)=-tfrac13,sinl(x/3r)
e, como |sin|<=1, segue
l|phi'(x)r|<=tfrac13<1 forall xinR
Logo phi é Lipschitz com constante L=1/3.

Passo 3

Por Banach, phi tem um único ponto fixo alphainR e a sequência xn=phi(xn-1) converge para alpha qualquer que seja x0. Em particular, com x0=0, temos convergência para alpha.

Passo 4

O erro na iteração contratante satisfaz
l|xn-alphar|<= L^n1-L,l|x1-x0r|
Aqui L=1/3 e x1=phi(0)=cos0=1, x0=0, então
l|x1-x0r|=1, 1-L=1-tfrac13=tfrac23,
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l|xn-alphar|<= l(tfrac13r)^ntfrac23 =32,l(tfrac13r)^n

Passo 5

Queremos 32,(1/3)^m<=10^-4. Isto equivale a
(1/3)^m<=23,10^-4approx6,67times10^-5
Tomando logaritmo natural,
m>=ln(6,67times10^-5)ln(1/3)approx8,76,
daí basta escolher m=9.

Resposta

Um valor que garante l|xm-alphar|<=10^-4 é
m=9

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