Seja alpha in R e seja phi: R R contínua com derivada contínua satisfazendo phi(alpha)=alpha. Seja x0 in R e considere a seqüência xn=phi(xn-1), para n=1,2, ldots. Mostre que se |phi^prime(x)| <= M, para todo x in R, então |xn-alpha| <= M^n|x0-alpha|.

Passo 1

O enunciado define uma função phi:RtoR de classe C^1 (contínua com derivada contínua) que tem um ponto fixo alpha, ou seja, phi(alpha)=alpha. A sequência é dada por
xn = phi(xn-1), n>=1,
com x0 arbitrário. Precisamos mostrar que, se existe M>=0 tal que
l|phi'(x)r|<= Mpara todo xinR,
então
l|xn - alphar|<= M^n,l|x0 - alphar|para todo n>=0
O conteúdo central é usar o Teorema do Valor Médio para estimar phi(x)-phi(alpha) em função de phi', e depois aplicar indução.

Passo 2

Aplicamos o Teorema do Valor Médio ao trecho entre xn-1 e alpha. Há um ponto intermediário cn tal que
phi(xn-1) - phi(alpha) = phi'(cn),l(xn-1-alphar)
Mas phi(alpha)=alpha e phi(xn-1)=xn, logo
xn - alpha = phi'(cn),l(xn-1-alphar)
Tomando valor absoluto e usando l|phi'(cn)r|<= M, obtemos
l|xn - alphar| <= M,l|xn-1-alphar|

Passo 3

Agora basta uma indução simples sobre n:
  • Caso base n=1: l|x1 - alphar|<= M,l|x0-alphar| = M^1l|x0-alphar|
  • Passo indutivo: suponha l|xk-1-alphar|<= M^k-1l|x0-alphar|. Então l|xk - alphar|<= M,l|xk-1-alphar| <= Mcdot M^k-1l|x0-alphar| = M^kl|x0-alphar|
Por indução, vale para todo n.

Resposta

l|xn - alphar|<= M^n,l|x0 - alphar| para todo (n>=0)

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