Seja
e seja
contínua com derivada contínua satisfazendo
. Seja
e considere a seqüência
, para
. Mostre que se
, para todo
, então
.
Passo 1
O enunciado define uma função
de classe
(contínua com derivada contínua) que tem um ponto fixo
, ou seja,
. A sequência é dada por
com
arbitrário. Precisamos mostrar que, se existe
tal que
então
O conteúdo central é usar o Teorema do Valor Médio para estimar
phi(x)-phi(alpha) em função de
phi' , e depois aplicar indução.
Passo 2
Aplicamos o Teorema do Valor Médio ao trecho entre
xn-1 e
alpha . Há um ponto intermediário
cn tal que
Mas
phi(alpha)=alpha e
phi(xn-1)=xn , logo
Tomando valor absoluto e usando
l|phi'(cn)r|<= M , obtemos
Passo 3
Agora basta uma indução simples sobre
n :
- Caso base
:n=1 l|x1 - alphar|<= M,l|x0-alphar| = M^1l|x0-alphar| - Passo indutivo: suponha
. Entãol|xk-1-alphar|<= M^k-1l|x0-alphar| l|xk - alphar|<= M,l|xk-1-alphar| <= Mcdot M^k-1l|x0-alphar| = M^kl|x0-alphar|
Por indução, vale para todo
n .