Suponha que em uma tabela de frequências, só se disponha das frequências relativas fri das classes. Seja xi(i=1, ldots, k) os pontos médios de cada classe. Como ficará a expressão para a variância amostral usando apenas frequência relativa?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma tabela de classes com pontos médios xi e conhecemos apenas as frequências relativas fri, i=1,dots,k. Queremos escrever a variância amostral s^2 exclusivamente em função de fri e xi.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a média amostral pode ser obtida usando frequências relativas:
bar x ;=;sumi=1^k fri,xi,
pois em geral bar x=(1/n)sum ni xi e fri=ni/n.

Passo 3

A definição clássica da variância amostral, em função das frequências absolutas ni, é
s^2 = 1n-1sumi=1^k ni,(xi-bar x)^2

Passo 4

Como ni = n,fri, substituímos na fórmula acima:
s^2 =1n-1sumi=1^k l(n,frir),(xi-bar x)^2 =nn-1sumi=1^k fri,(xi-bar x)^2

Passo 5

Opcionalmente, podemos usar o momento de segunda ordem e escrever
sumi=1^k fri,(xi-bar x)^2 =sumi=1^k fri,xi^2 ;-;bar x^2,
de modo que
s^2 =nn-1l(sumi=1^k fri,xi^2 ;-;bar x^2r)

Resposta

s^2 =nn-1sumi=1^k fri,(xi-bar x)^2, onde bar x=sumi=1^k fri,xi

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