O microscópio composto possui duas lentes convergentes. Seja m o aumento da lente objetiva e M o aumento da lente ocular ( M=25 / f_{2} ). A objetiva possui distância focal f_{1} e a imagem formada por esta lente está a uma distância x do centro da lente objetiva. Determine a expressão da ampliação produzida pelo microscópio composto em função:
de x, f_{1} e f_{2}.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Objetiva: distância focal \,f_{1}\,.
    • Ocular: distância focal \,f_{2}\, e aumento angular dado por \;M=\dfrac{25}{f_{2}}\; (assumindo f_{2} em centímetros e 25\\ \text{cm} como ponto próximo).
    • A objetiva forma uma imagem real cuja distância ao centro da lente objetiva é \,x\,. Ou seja, a distância imagem da objetiva é s' = x.
    • O enunciado também chama de m o aumento lateral (linear) produzido pela objetiva.
  • O que se pede:
    • Determinar a expressão do aumento total (ampliação) do microscópio composto em função de \,x, f_{1}, f_{2}\,.

Passo 2

Primeiro precisamos relacionar as distâncias objeto \,s, imagem \,s' e a distância focal \,f_{1} da objetiva pela equação das lentes delgadas. A fórmula é:
\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f_{1}}.
Aqui:
  • \,s é a distância do objeto até o centro da objetiva (desconhecida),
  • \,s' é a distância da imagem até o centro da objetiva (aqui sabemos que \,s' = x),
  • \,f_{1} é a distância focal da objetiva (dada).
Substituindo s' = x na equação, obtemos uma relação para \,s.

Passo 3

Resolvo a equação para \,s. Parto de
\frac{1}{s}=\frac{1}{f_{1}}-\frac{1}{x}.
Coloco em um único quociente:
\frac{1}{s}=\frac{x-f_{1}}{f_{1}\,x}.
Invertendo, encontro
s=\frac{f_{1}\,x}{x-f_{1}}.
Comentário prático: essa expressão mostra que, dado \,x, a posição do objeto \,s fica determinada pela óptica da objetiva.

Passo 4

Agora uso a definição do aumento lateral (magnificação linear) da objetiva: a magnificação da objetiva é
m=-\frac{s'}{s}.
Explico: o sinal negativo indica que uma imagem real formada pela objetiva fica invertida em relação ao objeto. Substituindo s' = x e a expressão encontrada para s:
m=-\frac{x}{\dfrac{f_{1}\,x}{x-f_{1}}}.
Faço a simplificação passo a passo:
m=-\frac{x}{1}\cdot\frac{x-f_{1}}{f_{1}\,x}=-\frac{x-f_{1}}{f_{1}}.
Reescrevendo de forma mais direta:
m=1-\frac{x}{f_{1}}.
Interpretação rápida: se \,x>f_{1} então m é negativo (imagem invertida) e |m| cresce com x. Para imagens muito além de f_{1} (caso usual quando a objetiva cria uma imagem distante), podemos aproximar |m|\approx \dfrac{x}{f_{1}} porque o termo constante 1 fica pequeno frente a x/f_{1}.

Passo 5

A ocular (eyepiece) fornece uma ampliação angular dada pelo enunciado:
M=\frac{25}{f_{2}}.
Observação: aqui \,f_{2} deve estar na mesma unidade usada para o 25 (normalmente centímetros). Essa ampliação é a razão entre o ângulo aparente da imagem final (quando o observador olha pela ocular) e o ângulo que teria o objeto visto a olho nu no ponto próximo.
O aumento total do microscópio composto é o produto do aumento lateral da objetiva pelo aumento angular da ocular:
\text{aumento total} = m\cdot M.
(essa regra vem do fato de que a objetiva cria uma imagem ampliada linearmente e a ocular amplia angularmente essa imagem para o olho).

Passo 6

Resumo do que encontramos (sem repetir a resposta final isolada):
  • A magnificação da objetiva em função de x e f_{1} é \;m=1-\dfrac{x}{f_{1}}\;.
  • A magnificação da ocular é \;M=\dfrac{25}{f_{2}}\;.
  • O aumento total é o produto m\cdot M.

Resposta

\boxed{\mathcal{M}= \left(1-\dfrac{x}{f_{1}}\right)\left(\dfrac{25}{f_{2}}\right)}

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