Considere os seguintes pares ( V,\langle\cdot, \cdot\rangle ), onde V é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em V. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em V. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em \mathbb{R}^{3}, defina \langle u, v\rangle=2 u_{1} v_{1}+3 u_{2} v_{2}+u_{3} v_{3}.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^3 a aplicação bilinear
\langle u,v\rangle \;=\;2\,u_1v_1 \;+\;3\,u_2v_2 \;+\;u_3v_3
e pede para verificar se isso é um produto interno. O conteúdo envolvido é a definição de produto interno em um espaço vetorial real, que exige três axiomas: simetria, linearidade em cada argumento e definitude positiva.

Passo 2

Verificamos primeiro a simetria. Para quaisquer u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3), temos
\langle u,v\rangle =2u_1v_1+3u_2v_2+u_3v_3
e trocando u por v,
\langle v,u\rangle =2v_1u_1+3v_2u_2+v_3u_3 =2u_1v_1+3u_2v_2+u_3v_3 =\langle u,v\rangle.
Logo, \langle\cdot,\cdot\rangle é simétrica.

Passo 3

Agora a linearidade. Sejam u,w,v\in\mathbb{R}^3 e a,b\in\mathbb{R}. Então
\langle a\,u+b\,w,\;v\rangle =2\,(a u_1+b w_1)v_1 +3\,(a u_2+b w_2)v_2 +(a u_3+b w_3)v_3.
Distribuindo,
= a\,(2u_1v_1+3u_2v_2+u_3v_3) + b\,(2w_1v_1+3w_2v_2+w_3v_3) = a\,\langle u,v\rangle + b\,\langle w,v\rangle.
Analogamente verifica-se linearidade no segundo argumento. Portanto é bilinear.

Passo 4

Falta a definitude positiva. Para u\neq 0,
\langle u,u\rangle =2u_1^2+3u_2^2+u_3^2.
Como 2>0, 3>0 e 1>0, cada termo é não negativo e a soma só é zero quando u_1=u_2=u_3=0, ou seja, u=0. Logo \langle u,u\rangle>0 para todo u\neq0.

Resposta

Sim, a aplicação
\langle u,v\rangle =2u_1v_1+3u_2v_2+u_3v_3
satisfaz simetria, bilinearidade e definitude positiva, portanto é um produto interno em \mathbb{R}^3.

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