Considere os seguintes pares (
), onde
é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em
. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em
. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em
, defina
.
Em
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação bilinear
e pede para verificar se isso é um produto interno. O conteúdo envolvido é a definição de produto interno em um espaço vetorial real, que exige três axiomas: simetria, linearidade em cada argumento e definitude positiva.
Passo 2
Verificamos primeiro a simetria. Para quaisquer
e
, temos
e trocando
por
,
Logo,
é simétrica.
Passo 3
Agora a linearidade. Sejam
e
. Então
Distribuindo,
Analogamente verifica-se linearidade no segundo argumento. Portanto é bilinear.
Passo 4
Falta a definitude positiva. Para
,
Como
,
e
, cada termo é não negativo e a soma só é zero quando
, ou seja,
. Logo
para todo
.
Resposta
Sim, a aplicação
satisfaz simetria, bilinearidade e definitude positiva, portanto é um produto interno em
.