Considere os seguintes pares (
), onde
é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em
. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em
. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em
, defina
.
Em
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial real
e a aplicação bilinear
para
e
. Queremos verificar se ela satisfaz os quatro axiomas de produto interno: linearidade em cada argumento, simetria e positividade definida.
Passo 2
Verificação da linearidade no primeiro argumento. Dados
e
, temos
Portanto é linear no primeiro argumento. Como a forma é simétrica (ver passo 3), segue também linearidade no segundo.
Passo 3
Verificação da simetria. Para quaisquer
,
Logo
é simétrica.
Passo 4
Verificação da positividade definida. Para todo
,
e
se e somente se
e
, ou seja,
.
Resposta
A aplicação
satisfaz todos os axiomas de produto interno em
. Portanto, ela define de fato um produto interno.