Considere os seguintes pares ( V,\langle\cdot, \cdot\rangle ), onde V é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em V. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em V. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em
\mathbb{R}^{2}, defina \langle u, v\rangle=u_{1} v_{1}+u_{2} v_{2}.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial real V=\mathbb{R}^2 e a aplicação bilinear
\langle u,v\rangle = u_1v_1 + u_2v_2
para u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2). Queremos verificar se ela satisfaz os quatro axiomas de produto interno: linearidade em cada argumento, simetria e positividade definida.

Passo 2

Verificação da linearidade no primeiro argumento. Dados u,w,v\in\mathbb{R}^2 e \alpha\in\mathbb{R}, temos
\langle u + w,\,v\rangle = (u_1 + w_1)v_1 + (u_2 + w_2)v_2 = u_1v_1 + u_2v_2 + w_1v_1 + w_2v_2 = \langle u,v\rangle + \langle w,v\rangle,
\langle \alpha u,\,v\rangle = (\alpha u_1)v_1 + (\alpha u_2)v_2 = \alpha\bigl(u_1v_1 + u_2v_2\bigr) = \alpha\langle u,v\rangle.
Portanto é linear no primeiro argumento. Como a forma é simétrica (ver passo 3), segue também linearidade no segundo.

Passo 3

Verificação da simetria. Para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^2,
\langle u,v\rangle = u_1v_1 + u_2v_2 = v_1u_1 + v_2u_2 = \langle v,u\rangle.
Logo \langle\cdot,\cdot\rangle é simétrica.

Passo 4

Verificação da positividade definida. Para todo v=(v_1,v_2)\in\mathbb{R}^2,
\langle v,v\rangle = v_1^2 + v_2^2 \ge 0
e \langle v,v\rangle = 0 se e somente se v_1=0 e v_2=0, ou seja, v=0.

Resposta

A aplicação \langle u,v\rangle = u_1v_1+u_2v_2 satisfaz todos os axiomas de produto interno em \mathbb{R}^2. Portanto, ela define de fato um produto interno.

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