Considere os seguintes pares ( V,\langle\cdot, \cdot\rangle ), onde V é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em V. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em V. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em C[0,1], o espaço das funções contínuas no intervalo [0,1], defina \langle f, g\rangle=\int_{0}^{1} f(x) g(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
\langle f,g\rangle = \int_{0}^{1} f(x)\,g(x)\,dx
define um produto interno no espaço real C[0,1] (funções contínuas em [0,1]). Para isso, precisamos checar três propriedades:
  1. linearidade em cada argumento,
  2. simetria,
  3. positividade (e definitude).

Passo 2

Verificamos linearidade e simetria.
  • Linearidade em, digamos, f: para quaisquer f_1,f_2,g\in C[0,1] e \alpha\in\mathbb{R},
\langle f_1 + \alpha f_2,\;g\rangle = \int_{0}^{1}\bigl(f_1(x)+\alpha f_2(x)\bigr)\,g(x)\,dx = \int_{0}^{1}f_1(x)g(x)\,dx + \alpha\int_{0}^{1}f_2(x)g(x)\,dx = \langle f_1,g\rangle + \alpha\,\langle f_2,g\rangle.
Analogamente é linear no segundo argumento.
  • Simetria:
\langle f,g\rangle = \int_{0}^{1}f(x)\,g(x)\,dx = \int_{0}^{1}g(x)\,f(x)\,dx = \langle g,f\rangle.

Passo 3

Verificamos positividade e definitude.
Para todo f\in C[0,1],
\langle f,f\rangle = \int_{0}^{1}f(x)^2\,dx \;\ge\;0,
pois f(x)^2\ge0 em cada ponto. Se \langle f,f\rangle=0, então
\int_{0}^{1}f(x)^2\,dx = 0
implica que f(x)^2=0 para todo x (pela continuidade de f), isto é, f(x)=0 em [0,1]. Logo a forma é positiva definida.

Resposta

Sim, \langle f,g\rangle = \int_{0}^{1}f(x)g(x)\,dx satisfaz todas as propriedades de um produto interno em C[0,1].

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