Considere os seguintes pares (
), onde
é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em
. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em
. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em
, o espaço das funções contínuas no intervalo
, defina
.
Em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
define um produto interno no espaço real
(funções contínuas em
). Para isso, precisamos checar três propriedades:
- linearidade em cada argumento,
- simetria,
- positividade (e definitude).
Passo 2
Verificamos linearidade e simetria.
- Linearidade em, digamos,
: para quaisquer e ,
Analogamente é linear no segundo argumento.
- Simetria:
Passo 3
Verificamos positividade e definitude.
Para todo ,
Para todo
pois
em cada ponto. Se
, então
implica que
para todo
(pela continuidade de
), isto é,
em
. Logo a forma é positiva definida.
Resposta
Sim,
satisfaz todas as propriedades de um produto interno em
.