Considere os seguintes pares (
), onde
é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em
. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em
. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em
, defina
.
Em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação bilinear
em
satisfaz os quatro axiomas de produto interno:
- simetria,
- linearidade na primeira entrada,
- positividade,
- definitude positiva.
Passo 2
Verificamos a simetria: para
e
temos
e também
Portanto
.
Passo 3
Verificamos a linearidade na primeira entrada. Dados
e
:
Pela simetria, segue também a linearidade na segunda entrada.
Passo 4
Verificamos a positividade e a definitude positiva. Para todo
em
:
com igualdade se e somente se
e
, ou seja,
. Logo é positiva definida.
Resposta
Sim. A forma bilinear
satisfaz todos os axiomas de produto interno em
.