Considere os seguintes pares ( V,\langle\cdot, \cdot\rangle ), onde V é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em V. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em V. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em \mathbb{R}^{2}, defina \langle u, v\rangle=u_{1} v_{1}+4 u_{2} v_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação bilinear
\langle u,v\rangle = u_{1}v_{1} + 4\,u_{2}v_{2}
em V=\mathbb{R}^2 satisfaz os quatro axiomas de produto interno:
  1. simetria,
  2. linearidade na primeira entrada,
  3. positividade,
  4. definitude positiva.

Passo 2

Verificamos a simetria: para u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) temos
\langle u,v\rangle = u_{1}v_{1} + 4\,u_{2}v_{2}
e também
\langle v,u\rangle = v_{1}u_{1} + 4\,v_{2}u_{2} = u_{1}v_{1} + 4\,u_{2}v_{2}.
Portanto \langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle.

Passo 3

Verificamos a linearidade na primeira entrada. Dados u,u',v\in\mathbb{R}^2 e \alpha\in\mathbb{R}:
\langle u+u',v\rangle = (u_1+u'_1)v_1 +4\,(u_2+u'_2)v_2 = u_1v_1+4u_2v_2 + u'_1v_1+4u'_2v_2 = \langle u,v\rangle + \langle u',v\rangle,
\langle \alpha u,v\rangle = (\alpha u_1)v_1 +4\,(\alpha u_2)v_2 = \alpha\bigl(u_1v_1 +4u_2v_2\bigr) = \alpha\langle u,v\rangle.
Pela simetria, segue também a linearidade na segunda entrada.

Passo 4

Verificamos a positividade e a definitude positiva. Para todo v=(v_1,v_2) em \mathbb{R}^2:
\langle v,v\rangle = v_1^2 + 4\,v_2^2 \ge 0,
com igualdade se e somente se v_1^2=0 e v_2^2=0, ou seja, v=(0,0). Logo é positiva definida.

Resposta

Sim. A forma bilinear \langle u,v\rangle = u_{1}v_{1} + 4\,u_{2}v_{2} satisfaz todos os axiomas de produto interno em \mathbb{R}^2.

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