Considere os seguintes pares (
), onde
é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em
. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em
. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em
, com vetor
fixo e todos os
, defina
.
Em
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial real
e define, para um vetor fixo
com
, a forma bilinear
O objetivo é verificar se isso satisfaz os três axiomas de produto interno em
: linearidade em cada argumento, simetria e positividade definida.
Passo 2
Para a linearidade em cada argumento, tomemos vetores
e escalar
. Então
e
Analogamente faz-se a linearidade no segundo argumento, o que mostra bilinearidade.
Passo 3
Para a simetria, observa-se que em cada termo do somatório a troca de
com
não altera o produto escalar, pois
Logo
Passo 4
Para a positividade definida, note que para todo
Como cada
e
, segue
. Além disso,
implica
e, por , cada
deve ser zero, isto é,
. Portanto a forma é definida positiva.
e, por
Resposta
A forma
com
satisfaz linearidade, simetria e positividade definida e, portanto, é um produto interno em
.