Considere os seguintes pares ( V,\langle\cdot, \cdot\rangle ), onde V é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em V. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em V. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em \mathbb{R}^{n}, com vetor w \in \mathbb{R}^{n} fixo e todos os w_{i}>0, defina \langle u, v\rangle=\sum_{i=1}^{n} w_{i} u_{i} v_{i}.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial real V=\mathbb{R}^n e define, para um vetor fixo w=(w_1,\dots,w_n) com w_i>0, a forma bilinear
\langle u,v\rangle \;=\;\sum_{i=1}^{n}w_i\,u_i\,v_i.
O objetivo é verificar se isso satisfaz os três axiomas de produto interno em \mathbb{R}^n: linearidade em cada argumento, simetria e positividade definida.

Passo 2

Para a linearidade em cada argumento, tomemos vetores u,u',v\in\mathbb{R}^n e escalar \alpha\in\mathbb{R}. Então
\langle u+u',\,v\rangle = \sum_{i=1}^n w_i\,(u_i+u'_i)\,v_i = \sum_{i=1}^n w_i\,u_i\,v_i \;+\;\sum_{i=1}^n w_i\,u'_i\,v_i = \langle u,v\rangle + \langle u',v\rangle,
e
\langle \alpha u,\,v\rangle = \sum_{i=1}^n w_i\,(\alpha u_i)\,v_i = \alpha\sum_{i=1}^n w_i\,u_i\,v_i = \alpha\langle u,v\rangle.
Analogamente faz-se a linearidade no segundo argumento, o que mostra bilinearidade.

Passo 3

Para a simetria, observa-se que em cada termo do somatório a troca de u_i com v_i não altera o produto escalar, pois
w_i\,u_i\,v_i = w_i\,v_i\,u_i.
Logo
\langle u,v\rangle = \sum_{i=1}^n w_i\,u_i\,v_i = \sum_{i=1}^n w_i\,v_i\,u_i = \langle v,u\rangle.

Passo 4

Para a positividade definida, note que para todo u\in\mathbb{R}^n
\langle u,u\rangle = \sum_{i=1}^n w_i\,u_i^2.
Como cada w_i>0 e u_i^2\ge0, segue \langle u,u\rangle\ge0. Além disso, \langle u,u\rangle=0 implica
\sum_{i=1}^n w_i\,u_i^2=0
e, por w_i>0, cada u_i^2 deve ser zero, isto é, u=0. Portanto a forma é definida positiva.

Resposta

A forma \langle u,v\rangle=\sum_{i=1}^n w_i\,u_i\,v_i com w_i>0 satisfaz linearidade, simetria e positividade definida e, portanto, é um produto interno em \mathbb{R}^n.

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