Considere os seguintes pares (
), onde
é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em
. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em
. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em
, defina
.
Em
Passo 1
O enunciado dá
e a aplicação bilinear
Para verificar se isso é produto interno, precisamos checar os axiomas:
- bilinearidade (já dada),
- simetria,
- positividade (ou positiva-definitude):
para todo .
Passo 2
Verificamos a simetria: para
e
,
Logo
é simétrica.
Passo 3
Calculamos a forma em
:
Para ser positivo-definido, precisaríamos
sempre que
. Mas por exemplo, se
,
ou se
,
embora
.
Passo 4
Como
pode ser nulo ou negativo para vetores não nulos, falha a condição de positividade.
Resposta
Não; essa operação não define produto interno em
porque não satisfaz a positividade.