Considere os seguintes pares ( V,\langle\cdot, \cdot\rangle ), onde V é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em V. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em V. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em \mathbb{R}^{2}, defina \langle u, v\rangle=u_{1} v_{2}+u_{2} v_{1}.

Passo 1

O enunciado dá V=\mathbb{R}^2 e a aplicação bilinear
\langle u,v\rangle = u_1v_2 + u_2v_1.
Para verificar se isso é produto interno, precisamos checar os axiomas:
  1. bilinearidade (já dada),
  2. simetria,
  3. positividade (ou positiva-definitude): \langle u,u\rangle>0 para todo u\neq0.

Passo 2

Verificamos a simetria: para u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2),
\langle v,u\rangle = v_1u_2 + v_2u_1 = u_1v_2 + u_2v_1 = \langle u,v\rangle.
Logo \langle\cdot,\cdot\rangle é simétrica.

Passo 3

Calculamos a forma em (u,u):
\langle u,u\rangle = u_1u_2 + u_2u_1 = 2\,u_1u_2.
Para ser positivo-definido, precisaríamos \langle u,u\rangle>0 sempre que u\neq0. Mas por exemplo, se u=(1,-1),
\langle u,u\rangle = 2\cdot1\cdot(-1) = -2 < 0,
ou se u=(1,0),
\langle u,u\rangle = 0,
embora u\neq0.

Passo 4

Como \langle u,u\rangle pode ser nulo ou negativo para vetores não nulos, falha a condição de positividade.

Resposta

Não; essa operação não define produto interno em \mathbb{R}^2 porque não satisfaz a positividade.

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