Considere os seguintes pares ( V,\langle\cdot, \cdot\rangle ), onde V é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em V. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em V. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em \mathbb{R}^{2}, defina \langle u, v\rangle=u_{1} v_{1}+2 u_{2}^{2} v_{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial \mathbb{R}^2 e a aplicação
\langle u,v\rangle \;=\; u_{1}v_{1} \;+\; 2\,u_{2}^{2}\,v_{2},
para u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2). Queremos ver se isso satisfaz os três axiomas de produto interno real:
  1. bilinearidade em cada argumento,
  2. simetria,
  3. positividade definida.

Passo 2

Verificação da bilinearidade (em particular, da aditividade no primeiro argumento). Se fosse bilinear, deveríamos ter
\langle u + w,\;x\rangle \;=\;\langle u,x\rangle \;+\;\langle w,x\rangle
para quaisquer u,w,x. Escolha
u=(0,1),\quad w=(0,1),\quad x=(1,1).
Então
u+w = (0,2)
e
\langle u+w,\,x\rangle = (0)\cdot 1 \;+\;2\cdot(2)^{2}\cdot 1 = 2\cdot 4 = 8.
Por outro lado,
\langle u,\,x\rangle = (0)\cdot1 + 2\cdot(1)^{2}\cdot1 = 2, \quad \langle w,\,x\rangle = 2 \quad\Longrightarrow\quad \langle u,x\rangle + \langle w,x\rangle = 4.
Como 8\neq4, falha a aditividade, logo a forma não é bilinear.

Passo 3

Verificação da simetria. Se fosse simétrica, teríamos
\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle \quad\forall\,u,v.
Mas
\langle u,v\rangle = u_{1}v_{1} + 2\,u_{2}^{2}\,v_{2}, \quad \langle v,u\rangle = v_{1}u_{1} + 2\,v_{2}^{2}\,u_{2}.
Em geral 2\,u_{2}^{2}\,v_{2}\neq 2\,v_{2}^{2}\,u_{2} (por ex., para u_{2}=1, v_{2}=2 2\neq8). Portanto, não é simétrica.

Passo 4

Verificação da positividade definida. Deveríamos ter
\langle v,v\rangle > 0 \quad\forall\,v\neq0.
Mas, tomando v=(0,-1),
\langle v,v\rangle = 0\cdot0 + 2\cdot(-1)^{2}\cdot(-1) = 2\cdot1\cdot(-1) = -2 < 0.
Logo, falha até a positividade.

Resposta

A forma \langle u,v\rangle = u_{1}v_{1} + 2\,u_{2}^{2}\,v_{2} não satisfaz os axiomas de bilinearidade, simetria nem positividade definida, portanto não é um produto interno em \mathbb{R}^{2}.

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