Considere os seguintes pares (
), onde
é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em
. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em
. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em
, defina
.
Em
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
e a aplicação
para
e
. Queremos ver se isso satisfaz os três axiomas de produto interno real:
- bilinearidade em cada argumento,
- simetria,
- positividade definida.
Passo 2
Verificação da bilinearidade (em particular, da aditividade no primeiro argumento). Se fosse bilinear, deveríamos ter
para quaisquer
. Escolha
Então
e
Por outro lado,
Como
, falha a aditividade, logo a forma não é bilinear.
Passo 3
Verificação da simetria. Se fosse simétrica, teríamos
Mas
Em geral
(por ex., para
,
dá
). Portanto, não é simétrica.
Passo 4
Verificação da positividade definida. Deveríamos ter
Mas, tomando
,
Logo, falha até a positividade.
Resposta
A forma
não satisfaz os axiomas de bilinearidade, simetria nem positividade definida, portanto não é um produto interno em
.