Considere os seguintes pares ( V,\langle\cdot, \cdot\rangle ), onde V é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em V. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em V. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em \mathbb{R}^{2}, defina \langle u, v\rangle=3 u_{1} v_{1}+3 u_{2} v_{2}+1. E fixando \langle 0,0\rangle=0.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^2 a aplicação
\langle u,v\rangle \;=\;3u_{1}v_{1}+3u_{2}v_{2}+1
com a exceção de \langle(0,0),(0,0)\rangle=0. Para ser produto interno, esta forma bilinear deve satisfazer três axiomas:
1. bilinearidade em cada entrada;
2. simetria \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle;
3. positividade definida ( \langle u,u\rangle\ge0 e igual a zero só se u=0).

Passo 2

Verificando bilinearidade, basta ver que o termo constante “ +1” impede aditividade. Por exemplo, tome
u=(1,0), w=(0,1) e v genérico.
Então
\langle u+w,\,v\rangle =3(1+0)v_{1}+3(0+1)v_{2}+1 =3v_{1}+3v_{2}+1,
enquanto
\langle u,v\rangle+\langle w,v\rangle =(3\cdot1\cdot v_{1}+1)+(3\cdot0\cdot v_{1}+3\cdot1\cdot v_{2}+1) =3v_{1}+3v_{2}+2.
Como 3v_{1}+3v_{2}+1\neq3v_{1}+3v_{2}+2, a aditividade falha e, portanto, não é bilinear.

Passo 3

Para a simetria, observe que
3u_{1}v_{1}+3u_{2}v_{2}+1 =3v_{1}u_{1}+3v_{2}u_{2}+1,
logo \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle. A simetria está satisfeita.

Passo 4

Para positividade definida, para u\neq(0,0) temos
\langle u,u\rangle =3u_{1}^{2}+3u_{2}^{2}+1>0
e por definição \langle(0,0),(0,0)\rangle=0. Então \langle u,u\rangle\ge0 e é zero só em u=0, isto é, a positividade definida vale.

Resposta

\langle\cdot,\cdot\rangle não é produto interno em \mathbb{R}^2, pois falha o axioma de bilinearidade.

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