Considere os seguintes pares (
), onde
é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em
. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em
. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em
, defina
. E fixando
.
Em
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
com a exceção de
. Para ser produto interno, esta forma bilinear deve satisfazer três axiomas:
. bilinearidade em cada entrada;
. simetria
;
. positividade definida (
e igual a zero só se
).
Passo 2
Verificando bilinearidade, basta ver que o termo constante “
” impede aditividade. Por exemplo, tome
,
e
genérico.
Então
Então
enquanto
Como
, a aditividade falha e, portanto, não é bilinear.
Passo 3
Para a simetria, observe que
logo
. A simetria está satisfeita.
Passo 4
Para positividade definida, para
temos
e por definição
. Então
e é zero só em
, isto é, a positividade definida vale.