Considere os seguintes pares (
), onde
é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em
. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em
. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em
, defina
.
Em
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
e a aplicação bilinear
Pergunta-se se isto é um produto interno em
. Para isso, precisamos verificar três axiomas:
- Bilinearidade em cada argumento.
- Simetria.
- Positividade definida:
para todo .
Passo 2
Verificamos a bilinearidade. Seja
e
. Então
e
Analogamente é linear na segunda entrada. Logo, a forma é bilinear.
Passo 3
Verificamos a simetria. Para quaisquer
,
Portanto é simétrica.
Passo 4
Verificamos a positividade definida. Note que
Se tomarmos, por exemplo,
, então
Logo não é verdade que
para todo
. Falha o último axioma.
Resposta
Não. A forma definida por
não é um produto interno em
pois não satisfaz a positividade definida.