Considere os seguintes pares ( V,\langle\cdot, \cdot\rangle ), onde V é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em V. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em V. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em \mathbb{R}^{2}, defina \langle u, v\rangle=u_{1} v_{1}-u_{2} v_{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^2 e a aplicação bilinear
\langle u,v\rangle = u_1 v_1 - u_2 v_2.
Pergunta-se se isto é um produto interno em \mathbb{R}^2. Para isso, precisamos verificar três axiomas:
  1. Bilinearidade em cada argumento.
  2. Simetria.
  3. Positividade definida: \langle v,v\rangle>0 para todo v\neq0.

Passo 2

Verificamos a bilinearidade. Seja u,w,v\in\mathbb{R}^2 e \alpha\in\mathbb{R}. Então
\langle u+w,v\rangle = (u_1+w_1)v_1 - (u_2+w_2)v_2 = u_1v_1 - u_2v_2 + w_1v_1 - w_2v_2 = \langle u,v\rangle + \langle w,v\rangle,
e
\langle \alpha u,v\rangle = (\alpha u_1)v_1 - (\alpha u_2)v_2 = \alpha\bigl(u_1v_1 - u_2v_2\bigr) = \alpha\langle u,v\rangle.
Analogamente é linear na segunda entrada. Logo, a forma é bilinear.

Passo 3

Verificamos a simetria. Para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^2,
\langle u,v\rangle = u_1v_1 - u_2v_2 = v_1u_1 - v_2u_2 = \langle v,u\rangle.
Portanto é simétrica.

Passo 4

Verificamos a positividade definida. Note que
\langle v,v\rangle = v_1^2 - v_2^2.
Se tomarmos, por exemplo, v=(0,1)\neq0, então
\langle v,v\rangle = 0^2 - 1^2 = -1 < 0.
Logo não é verdade que \langle v,v\rangle>0 para todo v\neq0. Falha o último axioma.

Resposta

Não. A forma definida por \langle u,v\rangle = u_1v_1 - u_2v_2 não é um produto interno em \mathbb{R}^2 pois não satisfaz a positividade definida.

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