Considere os seguintes pares ( V,\langle\cdot, \cdot\rangle ), onde V é um espaço vetorial real e \langle\cdot, \cdot\rangle é uma operação bilinear (ou seja, ela recebe dois vetores como entrada) definida em V. Para cada caso, determine se \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em V. Justifique sua resposta verificando os axiomas do produto interno:
Em \mathbb{R}^{2}, defina \langle u, v\rangle=\left|u_{1} v_{1}+u_{2} v_{2}\right|.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
\langle u,v\rangle = \bigl|u_1v_1 + u_2v_2\bigr|
em \mathbb{R}^2 é um produto interno. O conteúdo da matéria são os axiomas de produto interno: 1. simetria; 2. linearidade em cada argumento; 3. positividade; 4. definitude estrita.
Passo 2
Verificamos a simetria: para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^2,
Verificamos a positividade e a definitude: \langle u,u\rangle = |u_1|^2 + |u_2|^2 = u_1^2 + u_2^2 \ge 0, com igualdade se e só se u_1^2 + u_2^2 = 0, i.e. u = 0.
Portanto, \langle u,u\rangle > 0 para todo u \neq 0.
Passo 4
Verificamos a linearidade (falha): por exemplo, tome
Isso mostra \langle u,v+w\rangle \neq \langle u,v\rangle + \langle u,w\rangle,
isto é, falha a aditividade e, similarmente, falha a homogeneidade para escalares negativos.
Resposta
A aplicação não define um produto interno em \mathbb{R}^2 porque não satisfaz a linearidade em cada argumento.