As seguintes equações tem a forma
. Em cada problema, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos criticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
Passo 1
O enunciado trata de uma equação autônoma
onde
com
,
e condição inicial
.
Precisamos:
. Esboçar o gráfico de
versus
.
. Determinar os pontos críticos (equilíbrios) e classificá-los (estáveis ou instáveis).
. Desenhar a reta de fase.
. Esboçar curvas solução no plano
para várias condições iniciais.
Precisamos:
Passo 2
Para desenhar
note que é uma parábola que “abre para cima” (coeficiente de
positivo). Os zeros de
vêm de
logo
No eixo
marcamos esses dois pontos; para valores grandes de
,
cresce sem limite.
Passo 3
Os equilíbrios são as raízes de
:
Para classificar usamos a derivada
Em
:
Em
Passo 4
Na reta de fase marcamos
e
. Para saber o sentido das setas, escolhemos intervalos:
- Para
, seta para a direita. - Para
, seta para a esquerda. - Para
, seta para a direita.
Como o enunciado pede
, só importa o ramo
, onde as setas apontam para a direita (crescimento de
).
Passo 5
Qualitativamente, as soluções no plano
são:
- Se
, fica em repouso em . - Se
, então e cresce de forma acelerada (curva convexa para cima), indo para num tempo finito. - (Para comparação, se
— fora do enunciado — a solução decairia até e tenderia a esse valor estável.)
Resposta
Equilíbrios:
Para
, as soluções crescem monotonicamente e divergem para
.