As seguintes equações tem a forma \frac{d y}{d t}=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos criticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
\frac{d y}{d t}=a y+b y^{2}, a>0, b>0, y_{0} \geq 0

Passo 1

O enunciado trata de uma equação autônoma
\frac{dy}{dt}=f(y),
onde
f(y)=a\,y + b\,y^2,
com a>0, b>0 e condição inicial y(0)=y_0\ge0.
Precisamos:
1. Esboçar o gráfico de f(y) versus y.
2. Determinar os pontos críticos (equilíbrios) e classificá-los (estáveis ou instáveis).
3. Desenhar a reta de fase.
4. Esboçar curvas solução no plano (t,y) para várias condições iniciais.

Passo 2

Para desenhar f(y)=a\,y + b\,y^2 note que é uma parábola que “abre para cima” (coeficiente de y^2 positivo). Os zeros de f vêm de
f(y)=y\,(a + b\,y)=0
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y=0 \quad\text{ou}\quad y=-\frac{a}{b}.
No eixo y marcamos esses dois pontos; para valores grandes de |y|, f(y) cresce sem limite.

Passo 3

Os equilíbrios são as raízes de f(y)=0:
y^*_1=0, \qquad y^*_2=-\frac{a}{b}.
Para classificar usamos a derivada
f'(y)=\frac{d}{dy}(a\,y + b\,y^2)=a + 2\,b\,y.
Em y^*_1=0:
f'(0)=a>0
\to ponto de equilíbrio instável.
Em y^*_2=-\tfrac{a}{b}:
f'\bigl(-\tfrac{a}{b}\bigr)=a +2b\Bigl(-\tfrac{a}{b}\Bigr)=a-2a=-a<0
\to ponto de equilíbrio assintoticamente estável.

Passo 4

Na reta de fase marcamos y=-\tfrac{a}{b} e y=0. Para saber o sentido das setas, escolhemos intervalos:
  • Para y<-\tfrac{a}{b}, f(y)>0 \to seta para a direita.
  • Para -\tfrac{a}{b}<y<0, f(y)<0 \to seta para a esquerda.
  • Para y>0, f(y)>0 \to seta para a direita.
Como o enunciado pede y_0\ge0, só importa o ramo y\ge0, onde as setas apontam para a direita (crescimento de y).

Passo 5

Qualitativamente, as soluções no plano (t,y) são:
  • Se y_0=0, fica em repouso em y(t)\equiv0.
  • Se y_0>0, então \frac{dy}{dt}>0 e cresce de forma acelerada (curva convexa para cima), indo para +\infty num tempo finito.
  • (Para comparação, se y_0<0 — fora do enunciado — a solução decairia até y=-\tfrac{a}{b} e tenderia a esse valor estável.)

Resposta

Equilíbrios:
y^*_1=0\quad(\text{instável}), \qquad y^*_2=-\frac{a}{b}\quad(\text{assintoticamente estável}).áá
Para y_0\ge0, as soluções crescem monotonicamente e divergem para +\infty.

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