Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 12 \\\\ -8 \\\\ 3 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ 3 \\\\ -2 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{array}\right]\right\} \mathrm{e}} \\\ & {\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ 21 \\\\ -15 \\\\ -5 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -2 \\\\ 1 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 3 \\\\ -3 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\} .} \end{aligned}
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^{4}. Vou listar claramente as informações fornecidas e o que é pedido.
  • Primeiro plano: ponto base \displaystyle \begin{pmatrix}1\\[2pt]12\\[2pt]-8\\[2pt]3\end{pmatrix} e geradores \displaystyle v_{1}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]3\\[2pt]-2\\[2pt]1\end{pmatrix},\; v_{2}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix}. Assim qualquer ponto desse plano tem a forma
\begin{pmatrix}1\\[2pt]12\\[2pt]-8\\[2pt]3\end{pmatrix}+a\begin{pmatrix}0\\[2pt]3\\[2pt]-2\\[2pt]1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},
com a,b\in\mathbb{R}.
  • Segundo plano: ponto base \displaystyle \begin{pmatrix}2\\[2pt]21\\[2pt]-15\\[2pt]-5\end{pmatrix} e geradores \displaystyle u_{1}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-2\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix},\; u_{2}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]3\\[2pt]-3\\[2pt]2\end{pmatrix}. Assim qualquer ponto desse plano é
\begin{pmatrix}2\\[2pt]21\\[2pt]-15\\[2pt]-5\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-2\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}-1\\[2pt]3\\[2pt]-3\\[2pt]2\end{pmatrix},
com c,d\in\mathbb{R}.
  • O que pedem: encontrar o ponto de interseção dos dois planos (se existir) e, especificamente, identificar a entrada x_{1} desse ponto. Em formato de múltipla escolha, as opções vão de (A) a (H).]

Passo 2

Vamos escrever explicitamente as coordenadas de um ponto genérico em cada plano.
Ponto genérico do primeiro plano (usando a,b):
\begin{pmatrix} 1\\[4pt] 12+3a-b\\[4pt] -8-2a+b\\[4pt] 3+a+3b \end{pmatrix}.
Ponto genérico do segundo plano (usando c,d):
\begin{pmatrix} 2-c-d\\[4pt] 21-2c+3d\\[4pt] -15+c-3d\\[4pt] -5+2c+2d \end{pmatrix}.
Interseção significa que existem a,b,c,d tais que todas as coordenadas correspondentes são iguais.]

Passo 3

Olhe para a primeira coordenada: no primeiro plano a primeira coordenada é sempre \;1\; (pois os vetores geradores têm primeira entrada 0). No segundo plano a primeira coordenada é \;2-c-d\;. Igualando as primeiras coordenadas obtemos
2-c-d = 1.
Isto implica
c+d = 1.
Esse é um resultado imediato e útil: se os planos se intersectam, devem satisfazer c+d=1. Note que isto já fornece o valor da entrada \,x_{1}\, do ponto de interseção, porque em qualquer ponto do primeiro plano x_{1}=1. Portanto já antecipamos x_{1}=1. Mas vamos completar a verificação encontrando a,b,c,d e o ponto inteiro, para ter certeza de consistência.

Passo 4

Agora igualamos as coordenadas 2,3,4 dos dois parametrismos para obter um sistema linear nas incógnitas a,b,c,d.
Igualando a segunda coordenada:
12+3a-b = 21-2c+3d.
Igualando a terceira coordenada:
-8-2a+b = -15+c-3d.
Igualando a quarta coordenada:
3+a+3b = -5+2c+2d.
E já temos a equação da primeira coordenada c+d=1. Portanto há quatro equações lineares em a,b,c,d.

Passo 5

Simplificamos as equações anteriores colocando tudo para o mesmo lado (passos algébricos claros):
Da segunda coordenada:
3a - b +2c -3d = 9.
Da terceira coordenada:
-2a + b - c +3d = -7.
Da quarta coordenada:
a +3b -2c -2d = -8.
E da primeira coordenada já tínhamos:
c + d = 1.

Passo 6

Use d = 1 - c (da equação c+d=1) para eliminar d. Substituindo em cada uma das três equações restantes:
Substituindo em 3a - b +2c -3d =9:
3a - b +2c -3(1-c)=9
3a - b +2c -3 +3c =9
3a - b +5c = 12.
Substituindo em -2a + b - c +3d = -7:
-2a + b - c +3(1-c) = -7
-2a + b - c +3 -3c = -7
-2a + b -4c = -10.
Substituindo em a +3b -2c -2d = -8:
a +3b -2c -2(1-c) = -8
a +3b -2c -2 +2c = -8
a +3b = -6.
Agora temos três equações em a,b,c:
\begin{cases} 3a - b +5c = 12,\\[4pt] -2a + b -4c = -10,\\[4pt] a +3b = -6. \end{cases}]

Passo 7

Some as duas primeiras equações para eliminar b:
(3a - b +5c) + (-2a + b -4c) = 12 + (-10).
Isso dá
a + c = 2,
ou seja
a = 2 - c.

Passo 8

Use a terceira equação a +3b = -6 para encontrar b em função de c. Substituindo a = 2 - c:
(2 - c) + 3b = -6 \quad\Rightarrow\quad 3b = -8 + c.
Portanto
b = \frac{-8 + c}{3}.

Passo 9

Agora substitua a e b expressos em c numa das equações (por exemplo a primeira: 3a - b +5c =12) para determinar c.
Compute:
3a - b +5c = 12.
Substituindo a=2-c e b=\dfrac{-8+c}{3}:
3(2-c) - \frac{-8+c}{3} +5c = 12.
Multiplicando por 3 para evitar frações:
3\cdot 3(2-c) -(-8+c) +3\cdot 5c = 3\cdot 12.
Ou seja
18 -9c +8 - c +15c = 36.
Somando termos semelhantes:
26 +5c = 36 \quad\Rightarrow\quad 5c = 10 \quad\Rightarrow\quad c = 2.

Passo 10

Com c=2 obtemos:
a = 2 - c = 0,
b = \frac{-8 + c}{3} = \frac{-8+2}{3} = -2,
d = 1 - c = -1.
Verificação rápida (opcional): substituindo esses valores nas expressões das coordenadas, as duas parametrizações coincidem.

Passo 11

Calcule o ponto de interseção usando a parametrização do primeiro plano (pode usar a segunda, dá o mesmo resultado). Com a=0,b=-2,
\begin{pmatrix}1\\[4pt]12+3a-b\\[4pt]-8-2a+b\\[4pt]3+a+3b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]12+0-(-2)\\[4pt]-8+0+(-2)\\[4pt]3+0+3(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]14\\[4pt]-10\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Portanto o ponto de interseção é \displaystyle \begin{pmatrix}1\\[2pt]14\\[2pt]-10\\[2pt]-3\end{pmatrix}. Em particular, a primeira entrada é \,x_{1}=1.]

Resposta

(D) 1

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