Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5
Passo 1
O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^{4}. Vou listar claramente as informações fornecidas e o que é pedido.
Primeiro plano: ponto base \displaystyle \begin{pmatrix}1\\[2pt]12\\[2pt]-8\\[2pt]3\end{pmatrix} e geradores \displaystyle v_{1}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]3\\[2pt]-2\\[2pt]1\end{pmatrix},\; v_{2}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix}. Assim qualquer ponto desse plano tem a forma
Segundo plano: ponto base \displaystyle \begin{pmatrix}2\\[2pt]21\\[2pt]-15\\[2pt]-5\end{pmatrix} e geradores \displaystyle u_{1}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-2\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix},\; u_{2}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]3\\[2pt]-3\\[2pt]2\end{pmatrix}. Assim qualquer ponto desse plano é
O que pedem: encontrar o ponto de interseção dos dois planos (se existir) e, especificamente, identificar a entrada x_{1} desse ponto. Em formato de múltipla escolha, as opções vão de (A) a (H).]
Passo 2
Vamos escrever explicitamente as coordenadas de um ponto genérico em cada plano.
Interseção significa que existem a,b,c,d tais que todas as coordenadas correspondentes são iguais.]
Passo 3
Olhe para a primeira coordenada: no primeiro plano a primeira coordenada é sempre \;1\; (pois os vetores geradores têm primeira entrada 0). No segundo plano a primeira coordenada é \;2-c-d\;. Igualando as primeiras coordenadas obtemos
2-c-d = 1.
Isto implica
c+d = 1.
Esse é um resultado imediato e útil: se os planos se intersectam, devem satisfazer c+d=1. Note que isto já fornece o valor da entrada \,x_{1}\, do ponto de interseção, porque em qualquer ponto do primeiro plano x_{1}=1. Portanto já antecipamos x_{1}=1. Mas vamos completar a verificação encontrando a,b,c,d e o ponto inteiro, para ter certeza de consistência.
Passo 4
Agora igualamos as coordenadas 2,3,4 dos dois parametrismos para obter um sistema linear nas incógnitas a,b,c,d.
Igualando a segunda coordenada:
12+3a-b = 21-2c+3d.
Igualando a terceira coordenada:
-8-2a+b = -15+c-3d.
Igualando a quarta coordenada:
3+a+3b = -5+2c+2d.
E já temos a equação da primeira coordenada c+d=1. Portanto há quatro equações lineares em a,b,c,d.
Passo 5
Simplificamos as equações anteriores colocando tudo para o mesmo lado (passos algébricos claros):
Da segunda coordenada:
3a - b +2c -3d = 9.
Da terceira coordenada:
-2a + b - c +3d = -7.
Da quarta coordenada:
a +3b -2c -2d = -8.
E da primeira coordenada já tínhamos:
c + d = 1.
Passo 6
Use d = 1 - c (da equação c+d=1) para eliminar d. Substituindo em cada uma das três equações restantes:
Substituindo em 3a - b +2c -3d =9:
3a - b +2c -3(1-c)=9
3a - b +2c -3 +3c =9
3a - b +5c = 12.
Substituindo em -2a + b - c +3d = -7:
-2a + b - c +3(1-c) = -7
-2a + b - c +3 -3c = -7
-2a + b -4c = -10.
Substituindo em a +3b -2c -2d = -8:
a +3b -2c -2(1-c) = -8
a +3b -2c -2 +2c = -8
a +3b = -6.
Agora temos três equações em a,b,c:
\begin{cases} 3a - b +5c = 12,\\[4pt] -2a + b -4c = -10,\\[4pt] a +3b = -6. \end{cases}]
Passo 7
Some as duas primeiras equações para eliminar b:
(3a - b +5c) + (-2a + b -4c) = 12 + (-10).
Isso dá
a + c = 2,
ou seja
a = 2 - c.
Passo 8
Use a terceira equação a +3b = -6 para encontrar b em função de c. Substituindo a = 2 - c:
(2 - c) + 3b = -6 \quad\Rightarrow\quad 3b = -8 + c.
Portanto
b = \frac{-8 + c}{3}.
Passo 9
Agora substitua a e b expressos em c numa das equações (por exemplo a primeira: 3a - b +5c =12) para determinar c.
Portanto o ponto de interseção é \displaystyle \begin{pmatrix}1\\[2pt]14\\[2pt]-10\\[2pt]-3\end{pmatrix}. Em particular, a primeira entrada é \,x_{1}=1.]