Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(7)=5+p(9) é um subespaço vetorial.
II. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto das matrizes A_{3 \times 3} onde a_{22}=-a_{33} ( a_{i j} é a entrada da matriz A da linha i, coluna j ) é um subespaço vetorial.
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II é verdadeira.
(H) Todas são falsas.

Passo 1

O enunciado dá três afirmativas e pede que se identifique quais são verdadeiras ou falsas. As afirmativas são:
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(7)=5+p(9) é um subespaço vetorial.
II. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto das matrizes 3\times3 onde a_{22}=-a_{33} (sendo a_{ij} a entrada da linha i, coluna j ) é um subespaço vetorial.
O que se pede: determinar, para cada afirmativa, se ela é verdadeira ou falsa e, com isso, escolher a alternativa correta dentre as dadas.

Passo 2

Lembrando a definição (aqui vai um mini-aula bem prática): seja V um espaço vetorial. Um subconjunto W\subseteq V é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades equivalentes (uso a forma mais direta):
  1. 0\in W (o vetor nulo do espaço está em W);
  2. Para quaisquer u,v\in W, tem-se u+v\in W (fechamento por soma);
  3. Para qualquer escalar c e qualquer u\in W, tem-se c\,u\in W (fechamento por multiplicação escalar).
Explicando de um jeito prático: se o conjunto não contém o vetor zero, já dá pra dizer que não é subespaço. Se conter o zero, ainda preciso checar as duas propriedades de fechamento. Outra forma útil: se um conjunto é núcleo (kernel) de uma transformação linear ou solução homogênea T(x)=0, então é subespaço. Se é definido por uma equação linear homogênea (lado direito zero), costuma ser subespaço; se a equação tem um termo constante não-nulo (não-homogênea), frequentemente é apenas um conjunto afim (translada do subespaço) e não um subespaço.

Passo 3

Conjunto: W_1=\{p\in\mathcal{P}_2 \mid p(7)=5+p(9)\}, onde \mathcal{P}_2 é o espaço dos polinômios de grau máximo 2.
Verificação rápida pelo item (1) da definição (vetor zero):
  • Tome o polinômio zero p(x)\equiv 0. Então p(7)=0 e p(9)=0. A condição pede p(7)=5+p(9), isto é 0=5+0, o que é falso. Logo 0\notin W_1.
Conclusão imediata: como o vetor zero não pertence ao conjunto, W_1 NÃO é subespaço vetorial.
Para fixar a intuição: a condição p(7)-p(9)=5 é uma condição linear com termo constante (não-homogênea) — isso geralmente define um conjunto afim, não um subespaço. Um exemplo concreto de polinômio que satisfaz a condição é p(x)=-\dfrac{5}{2}x: calcule p(7)=-\dfrac{35}{2} e p(9)=-\dfrac{45}{2}; aí p(7)-p(9)=5. Mas se somar esse polinômio com ele mesmo a diferença vira 10, então a soma sai do conjunto — mostra a falha de fechamento por soma também.

Passo 4

Afirmativa: “O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.”
Explicação teórica: seja o sistema linear A x = b com b\neq 0. O conjunto de soluções, quando existe, tem a forma
S = x_0 + \ker(A),
onde x_0 é uma solução particular e \ker(A)=\{x\mid A x=0\} é o conjunto de soluções do sistema homogêneo. Assim S é um conjunto afim (uma translação do subespaço \ker(A)), e não um subespaço, porque normalmente 0\notin S (a menos que b=0, caso em que o sistema é homogêneo).
Contraexemplo simples e direto: o sistema em \mathbb{R}
x=1
tem conjunto de solução S=\{1\}. Esse conjunto não contém 0, não é fechado por multiplicação escalar (por exemplo 2\cdot 1=2\notin\{1\}). Logo não é subespaço.
Conclusão: a afirmativa II é FALSA (em geral o conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo não é subespaço; só é subespaço quando o sistema é homogêneo, b=0).

Passo 5

Conjunto: W_3=\{A\in M_{3\times3} \mid a_{22}=-a_{33}\}. Reescrevendo a condição de forma equivalente e linear:
a_{22}+a_{33}=0.
Defina a aplicação linear \varphi:M_{3\times3}\to\mathbb{R} por \varphi(A)=a_{22}+a_{33}. Essa \varphi é linear (soma das duas coordenadas da matriz), e então
W_3=\ker(\varphi).
Sabemos que o núcleo de uma aplicação linear é sempre subespaço vetorial. Vou também checar diretamente as três propriedades para ficar bem claro:
  1. Vetor zero: para a matriz zero 0, tem (0)_{22}=0 e (0)_{33}=0, logo 0_{22}=-0_{33} é verdade. Assim 0\in W_3.
  2. Fechamento por soma: se A,B\in W_3 então a_{22}=-a_{33} e b_{22}=-b_{33}. Para A+B a entrada central é (A+B)_{22}=a_{22}+b_{22} e a (3,3) é (A+B)_{33}=a_{33}+b_{33}. Soma as igualdades: a_{22}+b_{22}=-(a_{33}+b_{33}), logo (A+B)_{22}=-(A+B)_{33}. Assim A+B\in W_3.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: para escalar c e A\in W_3, tem (cA)_{22}=c\,a_{22} e (cA)_{33}=c\,a_{33}. Como a_{22}=-a_{33}, segue c\,a_{22}=-c\,a_{33}, logo cA\in W_3.
Como as três propriedades são satisfeitas, W_3 é um subespaço vetorial.
Conclusão: a afirmativa III é VERDADEIRA.

Passo 6

  • I é falsa.
  • II é falsa.
  • III é verdadeira.
Portanto apenas a afirmativa III é verdadeira.

Resposta

(D) Só III é verdadeira.

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