Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
II. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto das matrizes
onde
(
é a entrada da matriz
da linha
, coluna
) é um subespaço vetorial.
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
II. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto das matrizes
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
Passo 1
O enunciado dá três afirmativas e pede que se identifique quais são verdadeiras ou falsas. As afirmativas são:
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
II. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto das matrizes
onde
(sendo
a entrada da linha
, coluna
) é um subespaço vetorial.
O que se pede: determinar, para cada afirmativa, se ela é verdadeira ou falsa e, com isso, escolher a alternativa correta dentre as dadas.
Passo 2
Lembrando a definição (aqui vai um mini-aula bem prática): seja
um espaço vetorial. Um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades equivalentes (uso a forma mais direta):
-
(o vetor nulo do espaço está em ); - Para quaisquer
, tem-se (fechamento por soma); - Para qualquer escalar
e qualquer , tem-se (fechamento por multiplicação escalar).
Explicando de um jeito prático: se o conjunto não contém o vetor zero, já dá pra dizer que não é subespaço. Se conter o zero, ainda preciso checar as duas propriedades de fechamento. Outra forma útil: se um conjunto é núcleo (kernel) de uma transformação linear ou solução homogênea
, então é subespaço. Se é definido por uma equação linear homogênea (lado direito zero), costuma ser subespaço; se a equação tem um termo constante não-nulo (não-homogênea), frequentemente é apenas um conjunto afim (translada do subespaço) e não um subespaço.
Passo 3
Conjunto:
, onde
é o espaço dos polinômios de grau máximo
.
Verificação rápida pelo item (1) da definição (vetor zero):
- Tome o polinômio zero
. Então e . A condição pede , isto é , o que é falso. Logo .
Conclusão imediata: como o vetor zero não pertence ao conjunto,
NÃO é subespaço vetorial.
Para fixar a intuição: a condição
é uma condição linear com termo constante (não-homogênea) — isso geralmente define um conjunto afim, não um subespaço. Um exemplo concreto de polinômio que satisfaz a condição é
: calcule
e
; aí
. Mas se somar esse polinômio com ele mesmo a diferença vira
, então a soma sai do conjunto — mostra a falha de fechamento por soma também.
Passo 4
Afirmativa: “O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.”
Explicação teórica: seja o sistema linear
com
. O conjunto de soluções, quando existe, tem a forma
onde
é uma solução particular e
é o conjunto de soluções do sistema homogêneo. Assim
é um conjunto afim (uma translação do subespaço
), e não um subespaço, porque normalmente
(a menos que
, caso em que o sistema é homogêneo).
Contraexemplo simples e direto: o sistema em
tem conjunto de solução
. Esse conjunto não contém
, não é fechado por multiplicação escalar (por exemplo
). Logo não é subespaço.
Conclusão: a afirmativa II é FALSA (em geral o conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo não é subespaço; só é subespaço quando o sistema é homogêneo,
).
Passo 5
Conjunto:
. Reescrevendo a condição de forma equivalente e linear:
Defina a aplicação linear
por
. Essa
é linear (soma das duas coordenadas da matriz), e então
Sabemos que o núcleo de uma aplicação linear é sempre subespaço vetorial. Vou também checar diretamente as três propriedades para ficar bem claro:
-
Vetor zero: para a matriz zero
, tem e , logo é verdade. Assim . -
Fechamento por soma: se
então e . Para a entrada central é e a é . Soma as igualdades: , logo . Assim . -
Fechamento por multiplicação escalar: para escalar
e , tem e . Como , segue , logo .
Como as três propriedades são satisfeitas,
é um subespaço vetorial.
Conclusão: a afirmativa III é VERDADEIRA.
Passo 6
- I é falsa.
- II é falsa.
- III é verdadeira.
Portanto apenas a afirmativa III é verdadeira.
Resposta
(D) Só III é verdadeira.