Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3
Passo 1
O enunciado pede o ponto de interseção dos dois planos afins em \mathbb{R}^4. Vou listar exatamente o que foi dado (peguei estes vetores do enunciado):
O que se pede: calcular o ponto \bigl(x_1,x_2,x_3,x_4\bigr) onde esses dois planos se interceptam. A resposta final solicitada no enunciado é o valor da entrada x_1 (há alternativas de -4 até 3).]
Passo 2
Estratégia prática (passo-a-passo que aplicarei): representar um ponto genérico do primeiro plano com parâmetros a,b e um ponto genérico do segundo plano com parâmetros c,d, igualar as duas representações e resolver o sistema linear resultante para a,b,c,d. Isso dá o ponto de interseção.
Escrevendo as representações paramétricas:
Ponto genérico do primeiro plano:
x = \begin{bmatrix}1\\[4pt]8\\[4pt]-14\\[4pt]-25\end{bmatrix} + a\begin{bmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\\[4pt]3\end{bmatrix} + b\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{bmatrix}.
Ponto genérico do segundo plano:
x = \begin{bmatrix}-4\\[4pt]4\\[4pt]-4\\[4pt]-14\end{bmatrix} + c\begin{bmatrix}-3\\[4pt]3\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{bmatrix} + d\begin{bmatrix}0\\[4pt]3\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}.]
Passo 3
Escrevo as quatro coordenadas de x a partir de cada expressão e igualo componente a componente.
Da primeira expressão (em função de a,b):
\begin{aligned} x_1 &= 1 + a + 2b,\\[4pt] x_2 &= 8 - a + b,\\[4pt] x_3 &= -14 + a - 3b,\\[4pt] x_4 &= -25 + 3a - 3b. \end{aligned}