Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 8 \\\\ -14 \\\\ -25 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ -3 \end{array}\right]\right\} \mathrm{e}} \\\ & {\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 4 \\\\ -4 \\\\ -14 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right]\right\}} \end{aligned}
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3

Passo 1

O enunciado pede o ponto de interseção dos dois planos afins em \mathbb{R}^4. Vou listar exatamente o que foi dado (peguei estes vetores do enunciado):
  • Primeiro plano:
p_1=\begin{bmatrix}1\\[4pt]8\\[4pt]-14\\[4pt]-25\end{bmatrix} +\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\\[4pt]3\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{bmatrix}\right\}.
  • Segundo plano:
p_2=\begin{bmatrix}-4\\[4pt]4\\[4pt]-4\\[4pt]-14\end{bmatrix} +\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}-3\\[4pt]3\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}0\\[4pt]3\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}\right\}.
O que se pede: calcular o ponto \bigl(x_1,x_2,x_3,x_4\bigr) onde esses dois planos se interceptam. A resposta final solicitada no enunciado é o valor da entrada x_1 (há alternativas de -4 até 3).]

Passo 2

Estratégia prática (passo-a-passo que aplicarei): representar um ponto genérico do primeiro plano com parâmetros a,b e um ponto genérico do segundo plano com parâmetros c,d, igualar as duas representações e resolver o sistema linear resultante para a,b,c,d. Isso dá o ponto de interseção.
Escrevendo as representações paramétricas:
  • Ponto genérico do primeiro plano:
x = \begin{bmatrix}1\\[4pt]8\\[4pt]-14\\[4pt]-25\end{bmatrix} + a\begin{bmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\\[4pt]3\end{bmatrix} + b\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{bmatrix}.
  • Ponto genérico do segundo plano:
x = \begin{bmatrix}-4\\[4pt]4\\[4pt]-4\\[4pt]-14\end{bmatrix} + c\begin{bmatrix}-3\\[4pt]3\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{bmatrix} + d\begin{bmatrix}0\\[4pt]3\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}.]

Passo 3

Escrevo as quatro coordenadas de x a partir de cada expressão e igualo componente a componente.
Da primeira expressão (em função de a,b):
\begin{aligned} x_1 &= 1 + a + 2b,\\[4pt] x_2 &= 8 - a + b,\\[4pt] x_3 &= -14 + a - 3b,\\[4pt] x_4 &= -25 + 3a - 3b. \end{aligned}
Da segunda expressão (em função de c,d):
\begin{aligned} x_1 &= -4 - 3c,\\[4pt] x_2 &= 4 + 3c + 3d,\\[4pt] x_3 &= -4 + 2c,\\[4pt] x_4 &= -14 - c. \end{aligned}
Igualando componente a componente obtemos o sistema de quatro equações lineares nas incógnitas a,b,c,d:
\begin{aligned} 1 + a + 2b &= -4 - 3c,\\[4pt] 8 - a + b &= 4 + 3c + 3d,\\[4pt] -14 + a - 3b &= -4 + 2c,\\[4pt] -25 + 3a - 3b &= -14 - c. \end{aligned}]

Passo 4

Vou simplificar cada equação para deixar o sistema mais claro. Reescrevendo em forma linear padrão:
Da primeira:
a + 2b + 3c = -5. \tag{1}
Da segunda:
- a + b - 3c - 3d = -4 \quad\text{(ou)}\quad -a + b -3c -3d = -4. \tag{2}
Da terceira:
a - 3b - 2c = 10. \tag{3}
Da quarta:
3a - 3b + c = 11. \tag{4}
Agora vamos resolver (1),(3),(4) primeiro, pois (2) envolve d e usarei (2) depois para achar d.

Passo 5

Subtraio (1) de (3) para eliminar a e obter relação entre b e c.
Calculando (3)-(1):
(a - 3b - 2c) - (a + 2b + 3c) = 10 - (-5).
O lado esquerdo dá -5b -5c e o direito 15. Portanto
-5(b+c)=15\quad\Rightarrow\quad b+c=-3.
Isolando b:
b = -3 - c. \tag{5}

Passo 6

Agora substituo (5) em (1) para obter a em função de c.
Substituindo em (1): a + 2(-3 - c) + 3c = -5.
Calculo passo a passo:
a -6 -2c +3c = -5 \quad\Rightarrow\quad a + (-6) + c = -5,
logo
a + c = 1 \quad\Rightarrow\quad a = 1 - c. \tag{6}
Posso verificar que (6) e (5) satisfazem (3) — é sempre bom checar: substituir em (3) dá (1-c) -3(-3-c) -2c = 10 que simplifica para 10=10, ok.

Passo 7

Use agora a equação (4) para determinar c. Substituo (5) e (6) em (4):
Lado esquerdo de (4): 3a -3b + c = 3(1-c) -3(-3-c) + c.
Calculo:
3 -3c +9 +3c + c = 12 + c.
Pela equação (4) isso deve ser 11. Assim
12 + c = 11 \quad\Rightarrow\quad c = -1.

Passo 8

Com c=-1 volto às (5) e (6) para obter a e b:
De (5): b = -3 - c = -3 - (-1) = -2.
De (6): a = 1 - c = 1 - (-1) = 2.
Agora uso (2) para encontrar d. Reescrevo (2):
8 - a + b = 4 + 3c + 3d.
Substituindo a=2, b=-2, c=-1:
8 - 2 - 2 = 4 + 3(-1) + 3d \quad\Rightarrow\quad 4 = 4 -3 + 3d.
Então 4 = 1 + 3d e
3d = 3 \quad\Rightarrow\quad d = 1.
Temos então a=2, b=-2, c=-1, d=1.

Passo 9

Agora calculo as coordenadas do ponto de interseção, por exemplo usando a expressão do primeiro plano:
\begin{aligned} x_1 &= 1 + a + 2b = 1 + 2 + 2(-2) = 1 + 2 - 4 = -1,\\[4pt] x_2 &= 8 - a + b = 8 - 2 - 2 = 4,\\[4pt] x_3 &= -14 + a - 3b = -14 + 2 -3(-2) = -14 + 2 +6 = -6,\\[4pt] x_4 &= -25 + 3a - 3b = -25 + 6 -3(-2) = -25 + 6 +6 = -13. \end{aligned}
Opcionalmente, verifico (rapidinho) usando a representação do segundo plano com c,d:
\begin{aligned} x_1 &= -4 - 3c = -4 -3(-1) = -1,\\[4pt] x_2 &= 4 + 3c + 3d = 4 +3(-1) +3(1) = 4,\\[4pt] x_3 &= -4 + 2c = -4 +2(-1) = -6,\\[4pt] x_4 &= -14 - c = -14 -(-1) = -13, \end{aligned}
coincide com o cálculo anterior, logo o ponto está correto.]

Resposta

(D) -1

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