Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4
Passo 1
O enunciado dá dois planos em \mathbb{R}^4. Vou listar explicitamente as informações que temos (peguei estes vetores do enunciado):
Ou seja o outro plano é \;q_0+\operatorname{span}\{a,b\}.
O que o enunciado pede:
Calcular o ponto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) onde esses dois planos se interceptam.
Em particular, identificar o valor de x_{1} e escolher a alternativa correta entre (A)–(H).]
Passo 2
Estratégia (passo a passo prático que dá para fazer na prova):
Parametrizo cada plano com parâmetros escalares. Para o primeiro plano uso s,t\in\mathbb{R} e escrevoP(s,t)=p_0+s\,u+t\,v.
Para o segundo plano uso r,w\in\mathbb{R} e escrevoQ(r,w)=q_0+r\,a+w\,b.
A interseção corresponde a encontrar s,t,r,w tais queP(s,t)=Q(r,w).Isso gera um sistema linear de 4 equações (uma por coordenada) em 4 incógnitas s,t,r,w. Vou montar esse sistema e resolver por eliminação (ou substituição), obtendo assim o ponto comum.
Explicação rápida do que estou fazendo (caso tenha dúvida): escrever o ponto de cada plano em função de parâmetros é a forma padrão de representar planos afins. Igualando as duas parametrizações garantimos que é o mesmo ponto.
Passo 3
Escrevendo a igualdade coordenada a coordenada. Para P(s,t)=p_0+s u + t v temos