Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} -9 \\\\ 6 \\\\ 14 \\\\ 2 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l} -2 \\\\ -2 \\\\ 3 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ -3 \end{array}\right]\right\} \mathrm{e}} \\\ & {\left[\begin{array}{r} -19 \\\\ 2 \\\\ 24 \\\\ -4 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\} .} \end{aligned}
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4

Passo 1

O enunciado dá dois planos em \mathbb{R}^4. Vou listar explicitamente as informações que temos (peguei estes vetores do enunciado):
  • Primeiro plano: ponto-base e geradores
    p_0=\begin{bmatrix}-9\\[4pt]6\\[4pt]14\\[4pt]2\end{bmatrix},\qquad u=\begin{bmatrix}-2\\[4pt]-2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{bmatrix},\qquad v=\begin{bmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{bmatrix}.
    Ou seja o plano é \;p_0+\operatorname{span}\{u,v\}.
  • Segundo plano: ponto-base e geradores
    q_0=\begin{bmatrix}-19\\[4pt]2\\[4pt]24\\[4pt]-4\end{bmatrix},\qquad a=\begin{bmatrix}-2\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]-2\\[4pt]2\end{bmatrix}.
    Ou seja o outro plano é \;q_0+\operatorname{span}\{a,b\}.
O que o enunciado pede:
  • Calcular o ponto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) onde esses dois planos se interceptam.
  • Em particular, identificar o valor de x_{1} e escolher a alternativa correta entre (A)–(H).]

Passo 2

Estratégia (passo a passo prático que dá para fazer na prova):
  • Parametrizo cada plano com parâmetros escalares. Para o primeiro plano uso s,t\in\mathbb{R} e escrevo P(s,t)=p_0+s\,u+t\,v.
  • Para o segundo plano uso r,w\in\mathbb{R} e escrevo Q(r,w)=q_0+r\,a+w\,b.
  • A interseção corresponde a encontrar s,t,r,w tais que P(s,t)=Q(r,w).Isso gera um sistema linear de 4 equações (uma por coordenada) em 4 incógnitas s,t,r,w. Vou montar esse sistema e resolver por eliminação (ou substituição), obtendo assim o ponto comum.
Explicação rápida do que estou fazendo (caso tenha dúvida): escrever o ponto de cada plano em função de parâmetros é a forma padrão de representar planos afins. Igualando as duas parametrizações garantimos que é o mesmo ponto.

Passo 3

Escrevendo a igualdade coordenada a coordenada. Para P(s,t)=p_0+s u + t v temos
P(s,t)=\begin{bmatrix}-9\\[4pt]6\\[4pt]14\\[4pt]2\end{bmatrix} +s\begin{bmatrix}-2\\[4pt]-2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{bmatrix}.
Para Q(r,w)=q_0+r a + w b temos
Q(r,w)=\begin{bmatrix}-19\\[4pt]2\\[4pt]24\\[4pt]-4\end{bmatrix} +r\begin{bmatrix}-2\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{bmatrix} +w\begin{bmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]-2\\[4pt]2\end{bmatrix}.
Igualando coordenadas obtém-se o sistema (uma equação por linha):
\begin{aligned} -9-2s+t &= -19-2r+3w,\\[4pt] 6-2s-2t &= 2+2r+2w,\\[4pt] 14+3s-3t &= 24+3r-2w,\\[4pt] 2-s-3t &= -4-r+2w. \end{aligned}]

Passo 4

Vou rearranjar cada equação para formar um sistema linear padrão em s,t,r,w.
Da primeira equação:
-9-2s+t = -19-2r+3w
passo termos para o lado esquerdo:
-2s + t +2r -3w = -10.
Da segunda equação:
6-2s-2t = 2+2r+2w
-2s-2t-2r-2w = -4
dividindo por -2 (para simplificar):
s + t + r + w = 2.
Da terceira equação:
14+3s-3t = 24+3r-2w
3s-3t-3r+2w = 10.
Da quarta equação:
2-s-3t = -4-r+2w
-s-3t + r -2w = -6
multiplico por -1 para deixar coeficiente de s positivo:
s+3t - r +2w = 6.
Assim o sistema linear final é
\begin{cases} -2s + t +2r -3w = -10,\\[4pt] s + t + r + w = 2,\\[4pt] 3s -3t -3r +2w = 10,\\[4pt] s +3t - r +2w = 6. \end{cases}]

Passo 5

Vou resolver o sistema por substituição: isolo s na segunda equação (é simples) e substituo nas outras três.
Da segunda equação:
s = 2 - t - r - w.
Substituo esse s nas equações 1, 3 e 4.
Substituição na equação 1:
-2(2 - t - r - w) + t + 2r -3w = -10.
Calculo passo a passo:
-4 +2t +2r +2w + t +2r -3w = -10,
-4 +3t +4r -w = -10,
3t +4r - w = -6.
(chamo isto de Eq.(1’)).
Substituição na equação 3:
3(2 - t - r - w) -3t -3r +2w = 10.
Calculo:
6 -3t -3r -3w -3t -3r +2w = 10,
6 -6t -6r - w = 10,
6t +6r + w = -4.
(chamo isto de Eq.(3’)).
Substituição na equação 4:
(2 - t - r - w) +3t - r +2w = 6.
Calculo:
2 - t - r - w +3t - r +2w = 6,
2 +2t -2r + w = 6,
2t -2r + w = 4.
(chamo isto de Eq.(4’)).
Agora o sistema reduzido em t,r,w é
\begin{cases} 3t +4r - w = -6,\\[4pt] 6t +6r + w = -4,\\[4pt] 2t -2r + w = 4. \end{cases}]

Passo 6

Vou eliminar w. Somando a primeira e a segunda equação (pois uma tem -w e a outra +w):
Eq.(1’) + Eq.(3’) dá:
(3t+6t) + (4r+6r) + (-w + w) = -6 + (-4)
9t + 10r = -10.
(chamo isto de Eq.(A)).
Subtraindo Eq.(4’) da Eq.(3’) (Eq.(3’) - Eq.(4’)) para eliminar w:
(6t-2t) + (6r - (-2r)) + (w - w) = -4 - 4
4t + 8r = -8
dividindo por 4:
t + 2r = -2.
(chamo isto de Eq.(C)).
Agora uso Eq.(C) para substituir em Eq.(A). Da Eq.(C):
t = -2 - 2r.
Substituo em Eq.(A):
9(-2 - 2r) + 10r = -10.
Calculo:
-18 -18r +10r = -10,
-18 -8r = -10,
-8r = 8,
r = -1.
Com r=-1, da Eq.(C):
t = -2 -2(-1) = -2 +2 = 0.
Agora encontro w usando Eq.(4’) por exemplo:
2t -2r + w = 4.
Substituo t=0 e r=-1:
0 -2(-1) + w = 4 \quad\Rightarrow\quad 2 + w = 4 \quad\Rightarrow\quad w = 2.

Passo 7

Agora volto a s. Lembre que obtivemos
s = 2 - t - r - w.
Substituindo t=0,\; r=-1,\; w=2:
s = 2 - 0 - (-1) - 2 = 2 +1 -2 = 1.
Assim os parâmetros que resolvem a igualdade são
s=1,\qquad t=0,\qquad r=-1,\qquad w=2.
Com isso o ponto de interseção é (por exemplo) P(s,t)=p_0 + s u + t v. Como s=1 e t=0,
P(1,0)=p_0 + u =\begin{bmatrix}-9\\[4pt]6\\[4pt]14\\[4pt]2\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}-2\\[4pt]-2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-11\\[4pt]4\\[4pt]17\\[4pt]1\end{bmatrix}.
Posso checar mentalmente que este mesmo ponto é Q(r,w) com r=-1,w=2 (checagem opcional numa prova curta é boa prática); aqui bate.
Portanto a coordenada \;x_1\; do ponto de interseção é \;x_1 = -11.]

Resposta

(A) -11

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