Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto \{(0,0,0,0)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{3} tais que todas entradas de A \vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 6 \times 3 é um subespaço vetorial.
III. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
(C) Só III é verdadeira.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • São dadas três afirmativas:
    I. O conjunto \{(0,0,0,0)\}\subset\mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.
    II. O conjunto de todos \vec{v}\in\mathbb{R}^{3} tais que todas entradas de A\vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 6\times3, é um subespaço vetorial.
    III. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
  • O enunciado pede escolher qual das alternativas (A)–(H) está correta, ou seja, determinar exatamente quais das afirmativas I, II, III são verdadeiras.

Passo 2

Relembrando, com carinho: o que significa ser subespaço vetorial de \mathbb{R}^n? Vou dar uma definição prática e três propriedades-testes que usamos em prova.
  • Definição (prática): um subconjunto U\subset\mathbb{R}^n é subespaço vetorial se, e somente se:
    1. U não é vazio (uma forma curta: contém o vetor zero \vec{0});
    2. U é fechado sob adição: se \vec{u},\vec{w}\in U então \vec{u}+\vec{w}\in U;
    3. U é fechado sob multiplicação escalar: se \vec{u}\in U e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha\vec{u}\in U.
  • Observações importantes:
    • Se o conjunto não contém \vec{0}, já dá para concluir que não é subespaço (porque a propriedade 3 com \alpha=0 exige 0\cdot\vec{u}=\vec{0}\in U).
    • Mesmo que contenha \vec{0}, ainda é preciso checar fechamento por soma e por escalares.
    • Conjuntos que são “linhas” ou “planos” que passam pela origem são subespaços; se não passam pela origem (são transladados), são afins, não subespaços.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: o conjunto \{(0,0,0,0)\}\subset\mathbb{R}^{4}.
  • Verificações:
    1. Contém o vetor zero: claramente (0,0,0,0)=\vec{0}\in\{(0,0,0,0)\}.
    2. Fechamento por adição: se \vec{u},\vec{w} estão no conjunto, então \vec{u}=\vec{0} e \vec{w}=\vec{0}. Logo \vec{u}+\vec{w}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}, que está no conjunto.
    3. Fechamento por multiplicação escalar: para qualquer \alpha\in\mathbb{R} e qualquer \vec{u}=\vec{0} do conjunto, tem-se \alpha\vec{u}=\alpha\vec{0}=\vec{0}, que está no conjunto.
  • Conclusão: todas as propriedades se verificam, portanto \{(0,0,0,0)\} é um subespaço vetorial (é o chamado subespaço nulo). Logo a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Um pequeno exemplo extra para fixar (didático): em \mathbb{R}^2, o conjunto \{(0,0)\} também é subespaço; qualquer conjunto com apenas o vetor zero tem esse mesmo comportamento. Isso costuma aparecer em provas como caso trivial que é sempre subespaço.

Passo 5

Analisando a afirmativa II: conjunto \{\vec{v}\in\mathbb{R}^{3}\mid\text{todas as entradas de }A\vec{v}\text{ são positivas}\}ã, com A uma matriz 6\times3.
  • Primeiro teste simples: verificar se o vetor zero pertence ao conjunto. Para \vec{v}=\vec{0} temos A\vec{0}=\vec{0}\in\mathbb{R}^{6}. As entradas de \vec{0} são zeros, e zeros não são estritamente positivos. Portanto \vec{0}\notin esse conjunto.
  • Pelo critério de subespaço: se \vec{0} não está no conjunto, o conjunto não pode ser subespaço. Não precisamos testar mais nada.
  • Outra observação intuitiva: se um vetor \vec{v} satisfaz que A\vec{v} tem todas entradas positivas, então 2\vec{v} também tem todas entradas positivas (fechamento por escalares positivos funcionaria), mas multiplicar por -1 troca sinais e daria entradas negativas — então a propriedade de fechamento por escalares falha também. Isso confirma que o conjunto não é subespaço.
  • Conclusão: a afirmativa II é falsa.

Passo 6

Um exemplo concreto para clarear II (fixação): tome A qualquer, por exemplo A=[1\\\ 0\\\ 0;\\\ 0\\\ 1\\\ 0;\\\ 0\\\ 0\\\ 1;\\\ 0\\\ 0\\\ 0;\\\ 0\\\ 0\\\ 0;\\\ 0\\\ 0\\\ 0] (6×3). O vetor \vec{v}=(1,1,1) A\vec{v} com entradas positivas; mas \vec{0} não está no conjunto, e -\vec{v} também não está. Assim claramente não é subespaço.

Passo 7

Analisando a afirmativa III: “o conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.”
  • Primeiro, preciso esclarecer o que é um sistema linear não-homogêneo: é um sistema da forma A\vec{x}=\vec{b} com \vec{b}\neq\vec{0} (ao menos em geral); quando \vec{b}=\vec{0} chamamos de homogêneo.
  • Teorema padrão (que devo explicar): se A\vec{x}=\vec{b} tem alguma solução \vec{x}_p (uma solução particular), então o conjunto de todas as soluções é \{\vec{x}_p + \vec{x}_h \mid A\vec{x}_h=\vec{0}\},isto é, é um deslocamento (uma translação) do espaço das soluções homogêneas por uma solução particular.
  • Consequência: se \vec{b}\neq\vec{0} e existe solução, as soluções formam um conjunto afim que não passa pela origem, salvo no caso especial em que a solução particular happen to be \vec{0} (mas isso só ocorre se \vec{b}=\vec{0}). Portanto, em geral, o conjunto solução NÃO contém o vetor zero e não é fechado sob multiplicação escalar (multiplicar uma solução por 0 \vec{0}, que não satisfaz A\vec{x}=\vec{b} quando \vec{b}\neq\vec{0}).
  • Exemplo rápido e explícito: o sistema em \mathbb{R} dado por x=1 é um sistema linear não-homogêneo; sua solução é o conjunto \{1\}. Esse conjunto não contém 0 e não é subespaço de \mathbb{R}.
  • Também há o caso degenerado “não há solução”: se o sistema não-homogêneo é incompatível, o conjunto-solução é o conjunto vazio \varnothing, e o conjunto vazio não é subespaço (porque subespaço precisa conter \vec{0}). Então esse caso também impede ser subespaço.
  • Conclusão: em geral a solução de um sistema linear não-homogêneo NÃO é um subespaço vetorial. Logo a afirmativa III é falsa.

Passo 8

Resumo das três afirmativas após os testes detalhados:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é falsa.
Portanto, a única afirmativa verdadeira é a I.

Resposta

(E) Só I é verdadeira.

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