Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto
é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos
tais que todas entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
III. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
(C) Só III é verdadeira.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
I. O conjunto
II. O conjunto de todos
III. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
(C) Só III é verdadeira.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- São dadas três afirmativas:
I. O conjuntoé um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todostais que todas entradas de são positivas, onde é uma matriz , é um subespaço vetorial.
III. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial. - O enunciado pede escolher qual das alternativas (A)–(H) está correta, ou seja, determinar exatamente quais das afirmativas I, II, III são verdadeiras.
Passo 2
Relembrando, com carinho: o que significa ser subespaço vetorial de
? Vou dar uma definição prática e três propriedades-testes que usamos em prova.
-
Definição (prática): um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se: -
não é vazio (uma forma curta: contém o vetor zero ); -
é fechado sob adição: se então ; -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
-
-
Observações importantes:
- Se o conjunto não contém
, já dá para concluir que não é subespaço (porque a propriedade 3 com exige ). - Mesmo que contenha
, ainda é preciso checar fechamento por soma e por escalares. - Conjuntos que são “linhas” ou “planos” que passam pela origem são subespaços; se não passam pela origem (são transladados), são afins, não subespaços.
- Se o conjunto não contém
Passo 3
Analisando a afirmativa I: o conjunto
.
- Verificações:
- Contém o vetor zero: claramente
. - Fechamento por adição: se
estão no conjunto, então e . Logo , que está no conjunto. - Fechamento por multiplicação escalar: para qualquer
e qualquer do conjunto, tem-se , que está no conjunto.
- Contém o vetor zero: claramente
- Conclusão: todas as propriedades se verificam, portanto
é um subespaço vetorial (é o chamado subespaço nulo). Logo a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Um pequeno exemplo extra para fixar (didático): em
, o conjunto
também é subespaço; qualquer conjunto com apenas o vetor zero tem esse mesmo comportamento. Isso costuma aparecer em provas como caso trivial que é sempre subespaço.
Passo 5
Analisando a afirmativa II: conjunto
, com
uma matriz
.
- Primeiro teste simples: verificar se o vetor zero pertence ao conjunto. Para
temos . As entradas de são zeros, e zeros não são estritamente positivos. Portanto esse conjunto. - Pelo critério de subespaço: se
não está no conjunto, o conjunto não pode ser subespaço. Não precisamos testar mais nada. - Outra observação intuitiva: se um vetor
satisfaz que tem todas entradas positivas, então também tem todas entradas positivas (fechamento por escalares positivos funcionaria), mas multiplicar por troca sinais e daria entradas negativas — então a propriedade de fechamento por escalares falha também. Isso confirma que o conjunto não é subespaço. - Conclusão: a afirmativa II é falsa.
Passo 6
Um exemplo concreto para clarear II (fixação): tome
qualquer, por exemplo
(6×3). O vetor
dá
com entradas positivas; mas
não está no conjunto, e
também não está. Assim claramente não é subespaço.
Passo 7
Analisando a afirmativa III: “o conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.”
- Primeiro, preciso esclarecer o que é um sistema linear não-homogêneo: é um sistema da forma
com (ao menos em geral); quando chamamos de homogêneo. - Teorema padrão (que devo explicar): se
tem alguma solução (uma solução particular), então o conjunto de todas as soluções é isto é, é um deslocamento (uma translação) do espaço das soluções homogêneas por uma solução particular. - Consequência: se
e existe solução, as soluções formam um conjunto afim que não passa pela origem, salvo no caso especial em que a solução particular happen to be (mas isso só ocorre se ). Portanto, em geral, o conjunto solução NÃO contém o vetor zero e não é fechado sob multiplicação escalar (multiplicar uma solução por dá , que não satisfaz quando ). - Exemplo rápido e explícito: o sistema em
dado por é um sistema linear não-homogêneo; sua solução é o conjunto . Esse conjunto não contém e não é subespaço de . - Também há o caso degenerado “não há solução”: se o sistema não-homogêneo é incompatível, o conjunto-solução é o conjunto vazio
, e o conjunto vazio não é subespaço (porque subespaço precisa conter ). Então esse caso também impede ser subespaço. - Conclusão: em geral a solução de um sistema linear não-homogêneo NÃO é um subespaço vetorial. Logo a afirmativa III é falsa.
Passo 8
Resumo das três afirmativas após os testes detalhados:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é falsa.
Portanto, a única afirmativa verdadeira é a I.
Resposta
(E) Só I é verdadeira.