Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é LI, então
tem solução única.
II. Se
é LI, então
tem solução única.
III. Se
é LD, então
tem infinitas solução.
(A) Só II é verdadeira.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só III é verdadeira.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só II é verdadeira.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só III é verdadeira.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
e duas matrizes aumentadas que representam sistemas lineares:
-
.
Isto corresponde ao sistema homogêneo de incógnitas -
.
Isto corresponde ao sistema de incógnitas
As afirmativas a avaliar são:
I. Se é LI, então
tem solução única.
II. Se é LI, então
tem solução única.
III. Se é LD, então
tem infinitas solução.
I. Se
II. Se
III. Se
A tarefa é decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras e, portanto, qual alternativa (A)–(H) é correta.
Passo 2
Vamos revisar os conceitos importantes e ligar isso aos sistemas.
Definição de linearmente independente (LI) / dependente (LD):
- Dizemos que
é LI se a única solução do sistema homogêneo é . - Se existe uma solução com algum coeficiente não nulo, dizemos que
é LD.
Consequência para
(o homogêneo):
- O sistema homogêneo
tem sempre a solução trivial . - Se
é LI então não existem soluções não-triviais; logo a solução é única (apenas a trivial). - Se
é LD então existe pelo menos uma solução não-trivial; como quaisquer múltiplos escalares da solução não-trivial também são soluções do homogêneo, isso gera infinitas soluções não-triviais. Portanto: “LI tem solução única”; “LD tem infinitas soluções”.
Aplicação imediata à afirmativa II:
- II afirma que se
é LI então tem solução única. Pelas linhas acima, isso é verdadeiro. Vou explicar devagarinho: ser LI significa exatamente que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, portanto o sistema homogêneo não admite outras soluções. Conclusão: II é verdadeira.
Passo 3
Agora analisamos
. Interpretação:
- O sistema
pergunta se pertence ao espaço gerado por e , ou seja, se . - Três possibilidades para
: - Não existe solução: acontece quando
. - Existe solução única: acontece quando
e as colunas são LI (então as coordenadas que representam nessa base de duas vetores são únicas). - Existem infinitas soluções: acontece quando
e são LD (então há liberdade — um grau de liberdade — nas soluções de e ).
- Não existe solução: acontece quando
Importante: a linear dependência de todo o conjunto
(ou seja, ser LD) não implica automaticamente que
. Explico: a dependência linear significa que existem escalares
, nem todos nulos, tais que
Se
então podemos resolver essa equação para
e escrever
isto é,
. Mas se
então a relação de dependência envolve apenas
e
, e nada garante que
esteja no span deles. Ou seja: LD do conjunto pode corresponder a casos diferentes dependendo de qual coeficiente na relação de dependência é zero ou não.
Conclusão útil para avaliar I e III:
- I diz: se
é LI então tem solução única. Mas se é LI então, em particular, NÃO está em (porque se estivesse, haveria dependência). Logo normalmente NÃO tem solução (caso típico), não tem solução única. Um exemplo concreto ajuda a convencer: tome em (vetores canônicos diferentes). Esses três são LI; o sistema não tem solução. Portanto I é falsa. - III diz: se
é LD então tem infinitas soluções. Como vimos, quando é LD pode ocorrer: -
(logo ) e, se além disso são LI, a solução de será única (não infinita). Um exemplo: . Aqui é LD (porque ) mas tem a solução única . - Se
forem LD e estiver no mesmo span, então terá infinitas soluções. Mas nem sempre isso ocorre. - Há também casos LD em que
não é consistente (nenhuma solução), por exemplo : conjunto LD, mas nunca alcança , logo sem solução.
-
Portanto III também é falsa (não é garantia de infinitas soluções; podem ocorrer 0, 1 ou infinitas soluções dependendo do caso).
Passo 4
Resumindo cada afirmativa com a justificativa curta:
- I: Falsa. Se
é LI então , logo geralmente não tem solução (ex.: ). Portanto não é verdade que tenha solução única. - II: Verdadeira. Ser LI significa que a única solução do homogêneo
é a trivial; portanto tem solução única. - III: Falsa.
ser LD não implica necessariamente que ; mesmo quando , a solução pode ser única (se forem LI) ou infinita (se forem LD). Logo não há garantia de infinitas soluções em todos os casos.
Portanto apenas a afirmativa II é verdadeira.
Resposta
(A) Só II é verdadeira.