Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{7} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right]
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
II. Se \beta é LI, então S_{1} tem solução única.
III. Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
(A) Só II é verdadeira.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só III é verdadeira.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{7} e duas matrizes aumentadas que representam sistemas lineares:
  • S_{1}:\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0}\end{array}\right].
    Isto corresponde ao sistema homogêneo de incógnitas c_{1},c_{2},c_{3}
    c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.
  • S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3}\end{array}\right].
    Isto corresponde ao sistema de incógnitas x,y
    x\vec{v}_{1}+y\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}.
As afirmativas a avaliar são:
I. Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
II. Se \beta é LI, então S_{1} tem solução única.
III. Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
A tarefa é decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras e, portanto, qual alternativa (A)–(H) é correta.

Passo 2

Vamos revisar os conceitos importantes e ligar isso aos sistemas.
Definição de linearmente independente (LI) / dependente (LD):
  • Dizemos que \beta é LI se a única solução do sistema homogêneo c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0.
  • Se existe uma solução com algum coeficiente não nulo, dizemos que \beta é LD.
Consequência para S_{1} (o homogêneo):
  • O sistema homogêneo S_{1} tem sempre a solução trivial c_{1}=c_{2}=c_{3}=0.
  • Se \beta é LI então não existem soluções não-triviais; logo a solução é única (apenas a trivial).
  • Se \beta é LD então existe pelo menos uma solução não-trivial; como quaisquer múltiplos escalares da solução não-trivial também são soluções do homogêneo, isso gera infinitas soluções não-triviais. Portanto: “LI \Leftrightarrow S_{1} tem solução única”; “LD \Rightarrow S_{1} tem infinitas soluções”.
Aplicação imediata à afirmativa II:
  • II afirma que se \beta é LI então S_{1} tem solução única. Pelas linhas acima, isso é verdadeiro. Vou explicar devagarinho: ser LI significa exatamente que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, portanto o sistema homogêneo não admite outras soluções. Conclusão: II é verdadeira.

Passo 3

Agora analisamos S_{2}. Interpretação:
  • O sistema S_{2} pergunta se \vec{v}_{3} pertence ao espaço gerado por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}, ou seja, se \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.
  • Três possibilidades para S_{2}:
    1. Não existe solução: acontece quando \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.
    2. Existe solução única: acontece quando \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} e as colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LI (então as coordenadas x,y que representam \vec{v}_{3} nessa base de duas vetores são únicas).
    3. Existem infinitas soluções: acontece quando \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} e \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LD (então há liberdade — um grau de liberdade — nas soluções de x e y).
Importante: a linear dependência de todo o conjunto \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} (ou seja, ser LD) não implica automaticamente que \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}. Explico: a dependência linear significa que existem escalares a_{1},a_{2},a_{3}, nem todos nulos, tais que
a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+a_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.
Se a_{3}\neq0 então podemos resolver essa equação para \vec{v}_{3} e escrever
\vec{v}_{3}=-\frac{a_{1}}{a_{3}}\vec{v}_{1}-\frac{a_{2}}{a_{3}}\vec{v}_{2},
isto é, \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}. Mas se a_{3}=0 então a relação de dependência envolve apenas \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}, e nada garante que \vec{v}_{3} esteja no span deles. Ou seja: LD do conjunto pode corresponder a casos diferentes dependendo de qual coeficiente na relação de dependência é zero ou não.
Conclusão útil para avaliar I e III:
  • I diz: se \beta é LI então S_{2} tem solução única. Mas se \beta é LI então, em particular, \vec{v}_{3} NÃO está em \operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} (porque se estivesse, haveria dependência). Logo S_{2} normalmente NÃO tem solução (caso típico), não tem solução única. Um exemplo concreto ajuda a convencer: tome \vec{v}_{1}=\vec{e}_{1},\;\vec{v}_{2}=\vec{e}_{2},\;\vec{v}_{3}=\vec{e}_{3} em \mathbb{R}^{7} (vetores canônicos diferentes). Esses três são LI; o sistema x\vec{e}_{1}+y\vec{e}_{2}=\vec{e}_{3} não tem solução. Portanto I é falsa.
  • III diz: se \beta é LD então S_{2} tem infinitas soluções. Como vimos, quando \beta é LD pode ocorrer:
    • a_{3}\neq0 (logo \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}) e, se além disso \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LI, a solução de S_{2} será única (não infinita). Um exemplo: \vec{v}_{1}=\vec{e}_{1},\;\vec{v}_{2}=\vec{e}_{2},\;\vec{v}_{3}=\vec{e}_{1}+\vec{e}_{2}. Aqui \beta é LD (porque \vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}-\vec{v}_{3}=\vec{0}) mas S_{2} tem a solução única x=1,y=1.
    • Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} forem LD e \vec{v}_{3} estiver no mesmo span, então S_{2} terá infinitas soluções. Mas nem sempre isso ocorre.
    • Há também casos LD em que S_{2} não é consistente (nenhuma solução), por exemplo \vec{v}_{1}=\vec{e}_{1},\;\vec{v}_{2}=\vec{e}_{1},\;\vec{v}_{3}=\vec{e}_{2}: conjunto LD, mas x\vec{e}_{1}+y\vec{e}_{1}=(x+y)\vec{e}_{1} nunca alcança \vec{e}_{2}, logo sem solução.
Portanto III também é falsa (não é garantia de infinitas soluções; podem ocorrer 0, 1 ou infinitas soluções dependendo do caso).

Passo 4

Resumindo cada afirmativa com a justificativa curta:
  • I: Falsa. Se \beta é LI então \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, logo S_{2} geralmente não tem solução (ex.: \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}). Portanto não é verdade que S_{2} tenha solução única.
  • II: Verdadeira. Ser LI significa que a única solução do homogêneo S_{1} é a trivial; portanto S_{1} tem solução única.
  • III: Falsa. \beta ser LD não implica necessariamente que \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}; mesmo quando \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, a solução pode ser única (se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} forem LI) ou infinita (se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} forem LD). Logo não há garantia de infinitas soluções em todos os casos.
Portanto apenas a afirmativa II é verdadeira.

Resposta

(A) Só II é verdadeira.

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