Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde
a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações ( * * ).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-5,-5),(3,4) e (-1,1).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 13.1
(B) 14.1
(C) 15.1
(D) 16.1
(E) 17.1
(F) 18.1
(G) 19.1
(H) 20.1

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos que pertencem ao mesmo círculo:
(-5,-5), (3,4) e (-1,1).
A equação geral dada (após abrir a expressão do círculo) é
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
As relações entre a,b,c e o centro (x_{0},y_{0}) e raio r são
a=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0},\qquad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
O que se pede:
  • Determinar o centro e o raio do círculo que passa pelos três pontos.
  • Dentre as opções fornecidas, indicar a que contém o valor mais próximo do raio.

Passo 2

Primeiro vamos substituir cada ponto na equação \,x^{2}+a x+y^{2}+b y=c\, para obter três equações lineares em a,b,c.
Para (-5,-5):
(-5)^{2}+a(-5)+(-5)^{2}+b(-5)=c
que simplifica para
50-5a-5b=c.
Para (3,4):
3^{2}+3a+4^{2}+4b=c
que simplifica para
25+3a+4b=c.
Para (-1,1):
(-1)^{2}-a+1^{2}+b=c
que simplifica para
2-a+b=c.

Passo 3

Eliminamos c subtraindo pares de equações para obter um sistema de duas equações em a e b.
Subtraindo a equação do ponto (3,4) da equação do ponto (-5,-5):
(50-5a-5b)-(25+3a+4b)=0
25-8a-9b=0 \quad\Rightarrow\quad 8a+9b=25.
Subtraindo a equação do ponto (-1,1) da equação do ponto (-5,-5):
(50-5a-5b)-(2-a+b)=0
48-4a-6b=0 \quad\Rightarrow\quad 2a+3b=24.
Portanto o sistema reduzido é
\begin{cases} 8a+9b=25,\\[4pt] 2a+3b=24. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema por eliminação: multiplicando a segunda equação por 4 obtemos
8a+12b=96.
Subtraindo a primeira equação:
(8a+12b)-(8a+9b)=96-25
3b=71 \quad\Rightarrow\quad b=\dfrac{71}{3}.
Agora usamos 2a+3b=24:
2a+3\cdot\dfrac{71}{3}=24 \quad\Rightarrow\quad 2a+71=24
2a=-47 \quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac{47}{2}.

Passo 5

Com a e b encontramos c usando a equação de qualquer um dos pontos; uso a equação para (-1,1):
c=2-a+b=2-\left(-\dfrac{47}{2}\right)+\dfrac{71}{3}.
Colocando em denominador comum 6:
c=\dfrac{12}{6}+\dfrac{141}{6}+\dfrac{142}{6}=\dfrac{295}{6}.

Passo 6

Agora obtemos o centro (x_{0},y_{0}) usando a=-2x_{0} e b=-2y_{0}:
x_{0}=-\dfrac{a}{2}=-\dfrac{-\tfrac{47}{2}}{2}=\dfrac{47}{4}, \qquad y_{0}=-\dfrac{b}{2}=-\dfrac{\tfrac{71}{3}}{2}=-\dfrac{71}{6}.
Logo o centro é
\left(\dfrac{47}{4},\\\ -\dfrac{71}{6}\right).

Passo 7

Para o raio usamos c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}, isto é
r^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+c.
Calculamos cada termo:
x_{0}^{2}=\left(\dfrac{47}{4}\right)^{2}=\dfrac{2209}{16}, \qquad y_{0}^{2}=\left(\dfrac{71}{6}\right)^{2}=\dfrac{5041}{36}, \qquad c=\dfrac{295}{6}.
Colocando tudo em denominador comum 144:
x_{0}^{2}=\dfrac{19881}{144},\qquad y_{0}^{2}=\dfrac{20164}{144},\qquad c=\dfrac{7080}{144}.
Somando,
r^{2}=\dfrac{19881+20164+7080}{144}=\dfrac{47125}{144}.
Portanto
r=\sqrt{\dfrac{47125}{144}}=\dfrac{\sqrt{47125}}{12}.
Aproximando \sqrt{47125}: 217^{2}=47089, então \sqrt{47125}\approx217{,}083\ldots. Assim
r\approx\dfrac{217{,}083}{12}\approx18{,}090.

Passo 8

O raio aproximado é r\approx18{,}09, cujo valor mais próximo dentre as opções dadas é a opção (\text{F})\;18{,}1. Força aí — deu trabalho, mas já dá pra treinar casos parecidos: ao ver três pontos, sempre monte o sistema linear x^{2}+ax+y^{2}+by=c, elimine c para achar a,b, depois volte para c e calcule centro e raio.

Resposta

Centro: \left(\dfrac{47}{4},\\\ -\dfrac{71}{6}\right)
Raio: r\approx18{,}09
Opção: (\text{F})\;18{,}1

Exercícios relacionados