Q6: A equação do círculo com centro em (
) e raio
é dada por:
. Abrindo a expressão, obtemos:
onde
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de
e
, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de
e
, podemos determinar o raio do círculo através das relações (
).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
e
.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 13.1
(B) 14.1
(C) 15.1
(D) 16.1
(E) 17.1
(F) 18.1
(G) 19.1
(H) 20.1
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 13.1
(B) 14.1
(C) 15.1
(D) 16.1
(E) 17.1
(F) 18.1
(G) 19.1
(H) 20.1
Passo 1
O enunciado nos dá três pontos que pertencem ao mesmo círculo:
,
e
.
A equação geral dada (após abrir a expressão do círculo) é
A equação geral dada (após abrir a expressão do círculo) é
As relações entre
e o centro
e raio
são
O que se pede:
- Determinar o centro e o raio do círculo que passa pelos três pontos.
- Dentre as opções fornecidas, indicar a que contém o valor mais próximo do raio.
Passo 2
Primeiro vamos substituir cada ponto na equação
para obter três equações lineares em
.
Para
:
que simplifica para
Para
:
que simplifica para
Para
:
que simplifica para
Passo 3
Eliminamos
subtraindo pares de equações para obter um sistema de duas equações em
e
.
Subtraindo a equação do ponto
da equação do ponto
:
Subtraindo a equação do ponto
da equação do ponto
:
Portanto o sistema reduzido é
Passo 4
Resolvendo o sistema por eliminação: multiplicando a segunda equação por
obtemos
Subtraindo a primeira equação:
Agora usamos
:
Passo 5
Com
e
encontramos
usando a equação de qualquer um dos pontos; uso a equação para
:
Colocando em denominador comum
:
Passo 6
Agora obtemos o centro
usando
e
:
Logo o centro é
Passo 7
Para o raio usamos
, isto é
Calculamos cada termo:
Colocando tudo em denominador comum
:
Somando,
Portanto
Aproximando
:
, então
. Assim
Passo 8
O raio aproximado é
, cujo valor mais próximo dentre as opções dadas é a opção
. Força aí — deu trabalho, mas já dá pra treinar casos parecidos: ao ver três pontos, sempre monte o sistema linear
, elimine
para achar
, depois volte para
e calcule centro e raio.
Resposta
Centro:
Raio:
Opção:
Raio:
Opção: